Sucesiones matemáticas. Conceptos básicos.

En matemáticas, la palabra “sucesión” se usa en un sentido muy parecido al lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o eventos están en sucesión significa generalmente que la colección está ordenada, de manera que tiene un primer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro, y así sucesivamente.

Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales, dispuestos uno a continuación de otro, escrita de la forma, $$\left\{u_n\right\}=u_{1\ ,}{\ u}_2,\ \ u_3,\cdots u_n$$ donde el subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión..

Aunque una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitual de la función. Por ejemplo, en la sucesión de los primeros cinco números naturales se tiene:
\begin{equation} \begin{matrix} 1, & 2, & 3, & 4, & ..., & n\\ \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & ... & \Downarrow\\ u_1, & u_2, & u_3, & u_4, & ..., & u_n \end{matrix} \end{equation}

Al \(1\) se le asigna \(u_1\), al \(2\) se le asigna \(u_2\), y así sucesivamente.
Los números \(u_1,~u_2,~u_3,~u_4,\ldots,~u_n\) son los términos de la sucesión. El número \(u_n\) es el término n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por \(\{u_n\}\). Note la diferencia, la sucesión completa se escribe entre llaves.

Término general de una sucesión \(u_n\)
Es un criterio que permite determinar cualquier término de la sucesión. Determinar los términos de una sucesión es escribir cada uno de sus términos que están en un intervalo dado y consiste en darle valores a \(n\) dentro de los números naturales.

Un término cualquiera \(u_n\) pertenece a una sucesión \(\{u_n\}\) si y solo si existe un \(n\) dentro de su dominio el cual genera (da como resultado) a \(u_n\). Cabe destacar que no todas las sucesiones tienen término general, por ejemplo, la sucesión de los números primos \(\left\{u_n\right\}=2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ldots\) hasta este momento no posee un término \(u_n\) que permita general toda la sucesión completa \(\{u_n\}.\)

Las sucesiones se pueden determinar mediante el conocimiento de su término general (analíticamente) o mediante una ley de recurrencia (que vuelve a ocurrir o a aparecer) es encontrar cada uno de los términos de la sucesión mediante operaciones con los anteriores, según lo expresado en la ley de recurrencia.

Ejemplo 1. Determinar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término general es\( \left\{u_n\right\}=5n+3\). \begin{align} &u_1=5\left(1\right)+3=8\\ &u_2=5\left(2\right)+3=13\\ &u_3=5\left(3\right)+3=18\\ &u_4=5\left(4\right)+3=23\\ &u_5=5\left(5\right)+3=28\\ &\left\{u_n\right\}=8,\ 13,\ 18,\ 23, \ldots,~5n+3\end{align} Ejemplo 2. Escribir los primeros cincos términos de las sucesiones dadas. \begin{align} &a)\ \{u_n\}=\ 3^n\ \Longrightarrow\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 343\ldots\\ &b)\ \{u_n\}=5(n+7)\Longrightarrow\ 40,\ 45,\ 50,\ 55,\ 60,\ldots\\ &c)\ \{u_n\}=\ \frac{n+5}{2n-1}\Longrightarrow3,\frac{7}{3},\ \frac{8}{5},\frac{9}{7},\frac{10}{9}\ldots\end{align} Ejemplo 3. Dada la sucesión de término general $$u_n=\frac{5n-7}{3n-2}$$ determinar el segundo, quinto, séptimo y decimoprimer témino.
Solución: haciendo \(n=\{2,\ 5,\ 7,\ 11\} en \{u_n\}\) se tiene, $$u_n=\frac{5n-7}{3n-2}\Longrightarrow \left\{\begin{array}i u_2=\frac{5\left(2\right)-7}{3\left(2\right)-2}=\frac{3}{4}\\ u_5=\frac{5\left(5\right)-7}{3\left(5\right)-2}=\frac{18}{13}\\ u_7=\frac{5\left(7\right)-7}{3\left(7\right)-2}=\frac{28}{19}\\ u_{11}=\frac{5\left(11\right)-7}{3\left(11\right)-2}=\frac{48}{31} \end{array}\right.$$ Ejemplo 4. Determinar los primeros cincos términos para la sucesión, $$u_n=\frac{n+5}{2n+1}$$ Solución: haciendo \(n=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \}\) en \(\{u_n\}\) se tiene, $$u_n=\frac{n+5}{2n+1}\Longrightarrow\left\{\begin{array}i u_1=\frac{1+5}{2\left(1\right)+1}=\frac{6}{3}=2\\ u_2=\frac{2+5}{2\left(2\right)+1}=\frac{7}{5}\\ u_3=\frac{3+5}{2\left(3\right)+1}=\frac{8}{7}\\ u_4=\frac{4+5}{2\left(4\right)+1}=\frac{9}{9}=1\\ u_5=\frac{5+5}{2\left(5\right)+1}=\frac{10}{11} \end{array}\right.$$ Ejemplo 5. Determinar si \(1/5\) y\(2/7\) son términos de la sucesión de término general $$u_n=\frac{n-2}{n+3}$$ Solución: para comprobar si un valor pertenece o no la sucesión se iguala el valor a la sucesión y se resuelve para \(n,\) si el resultado pertenece al dominio de la sucesión entonces el valor pertenece a la sucesión. $$u_n=\frac{n-1}{n+1}\Longrightarrow\left\{\begin{array}i \frac{1}{5}=\frac{n-2}{n+3}\Longrightarrow n+3=5(n-2)\Longleftrightarrow n=13/4\\ {\rm Dado\ que}\ 13/4\ \notin\ dom\ \left\{u_n\right\}\Longrightarrow\frac{1}{5}\ \notin \{u_n\}\\ \frac{2}{7}=\frac{n-2}{n+3}\Longrightarrow2(n+3)=7(n-2)\Longleftrightarrow n=4\\ {\rm Dado\ que}\ 4\ \in\ dom\ \left\{u_n\right\}\Longrightarrow3\ \in \{a_n\} \end{array}\right.$$ Ejemplo 6. Una sucesión por recurrencia. Escribir una sucesión cuyo primer término es dos, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior. $$\left\{u_n\right\}=2,\ 4,\ 16,\ 256,\ 65536,\ldots$$ Ejemplo 7. Sucesión de Fibonacci. La sucesión de Fibonacci es una sucesión especial en la cual los dos primeros términos son uno y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores: $$\{u_n\}=1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55\ ,89\ \ldots$$ En leguaje algebraico se tiene: $$\{u_n\}=\left\{\begin{array}i1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm si}~n=1\\2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm si}~n=2\\u_{n-1}+u_{n-2}~~~~~~~~{\rm si}>2\end{array}\right.$$ Esta sucesión es de gran relevancia e importancia dentro del campo de las ciencias naturales y se puede observar en la naturaleza en diversos cuerpos.

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Clasificación de sucesiones.

De acuerdo con la relación entre sus términos las sucesiones pueden ser monótonas y constantes.
$$\mathrm{Sucesiones~monotonas} \left\{\begin{array}e \mathrm{estrictamente~ crecientes}\\ \mathrm{crecientes}\\ \mathrm{estrictamente~ decrecientes}\\ \mathrm{decrecientes} \end{array}\right.$$ Sucesiones estrictamente crecientes.
Una sucesión es estrictamente creciente (que siempre crece) si cada término es mayor que el anterior, esto es, $$u_n>u_{n-1;}\ u_{n-1}>u_{n-2};u_{n-2}>\ \ldots\ \ >u_2;u_2>u_1$$ Ejemplo: Dada la sucesión, \(a_n=\ 1, 3, 5, 7, 9,\ldots\) sus términos cumplen las relaciones \(9>7;7>5;5>3;3>1\)

Sucesiones crecientes.
Una sucesión se dice que es creciente, si cada término es mayor o igual que el anterior, esto es, $$u_{n+1}\geq u_n;\ u_n\ \geq\ u_{n-1};\ u_{n-1}\ \geq u_{n-2};\ u_{n-2}\ \geq\ldots\ \geq u_1$$ Ejemplo: Dada la sucesión \(a_n=3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 9,\ 9,\ \ldots\) sus términos cumplen las relaciones $$3\geq3;5\geq3;5\geq5;9\geq5;9\geq9,...$$ La sucesión de Fibonacci es una sucesión creciente, pero no estrictamente creciente (no crece siempre).

Sucesiones estrictamente decrecientes.
Una sucesión es estrictamente decreciente (siempre decrece) si cada término de la sucesión es menor que el anterior esto es, $$u_1>\ u_2;\ u_2>u_3;\ u_3\ >\ldots>u_{n-1}\ >u_n$$ Ejemplo: dada la sucesión, $$\{u_n\}=1\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{6},\frac{1}{7},\ldots$$ Observe que sus términos cumplen, \(1>1/2>1/3>\ldots>1/7\)

Sucesiones decrecientes.
Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior, esto es, $$u_{n+1}\le u_n;\ \ u_n\le u_{n-1};\ \ u_{n-1}\le\ u_{n-2};\ u_{n-2}\le u_{n-3};{\ \ u}_{n-3}\ \le\ldots{\ a}_1$$ Ejemplo. $$u_n=1,\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots$$ Note que \(\{u_n\}\) tiene los dos primeros términos iguales, esto es lo que la hace no ser estrictamente creciente.

Sucesiones constantes.
Una sucesión es constante si todos sus términos son iguales, es decir, $$a_n=k\ {\rm y~ por~ tanto}~ a_1=a_2=a_3=a_4=\ \ldots=a_n$$ Por ejemplo: \(\left\{a_n\right\}=2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ldots\)

Sucesiones oscilantes.
Son sucesiones cuyos términos alternan en valores absolutos de mayor a menor o viceversa. Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes (el estudio de convergencia y divergencia se analizará al estudiar el límite de una sucesión), por ejemplo $$\{a_n\}= -1,\ 1,\ 0,\ -1,\ 1,\ 0,\ldots$$

Sucesiones alternadas.
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser convergentes (si tienden a un límite) o divergentes (el límite no existe) y oscilantes.
Ejemplo. Tres sucesiones alternadas. \begin{align} &1.~~\left\{u_n\right\}=\ 1,\ -1,\ 0.5,\ -0.5,\ 0.25,\ -0.25,\ 0.125,\ -0.125,\ldots\\ &2.~~\left\{u_n\right\}=\ 1,-2,\ 3,-6,\ 6,-10,\ldots\\ &3.~~\left\{a_n\right\}=-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ -1,\ldots,\ \left(-1\right)^n\end{align}

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