Manejo de los números.

¿Por qué es necesario el conocimiento matemático en las ciencias físicas?
Al expresar las ideas científicas en el leguaje matemático estas pierden la ambigüedades personales que cada persona hace de los conceptos científicos, de modo que al matematizar un concepto científico este queda definido de manera precisa para todo el mundo, recordar el concepto y su verificación de validez se hace más fácil y se puede evitar cualquier confusión debida a interpretaciones privadas.

A lo largo del estudio de las ciencias naturales es necesario el manejo de los números y la resolución de ecuaciones matemáticas que representan los conceptos físicos. Es por esta razón que este apartado se inicia mostrando un poco del manejo de los números.

Podría decirse que la física es la rama de las ciencia que estudia la naturaleza a través de conocimientos matemáticos

Cantidades exactas y aproximadas.
Una cantidad matematica es cierto número de un algo. Se dice que una cantidad es aproximada si difiere ligeramente de una cantidad exacta. Por lo general en ciencias las cantidades que se manejan suelen ser aproximadas, debido a su tamaño (cantidades muy grandes o muy pequeñas). Si la cantidad aproximada está por debajo del valor tomado como exacto se dice que está aproximada por defecto y si tiene un valor mayor se dice que está aproximada por exceso. Por ejemplo, cuando se escribe \(2/3\approx0.67\) la cantidad exacta es \(2/3\) mientras que \(0.67\) es la cantidad aproximada por exceso.

Notación en potencias de diez.
En ciencias se utilizan números que por lo general son muy grandes o muy pequeños, por lo que es conveniente y útil expresar estos números como potencias de diez. algunos ejemplo de esto son: \begin{align} &123\ 456=1.23456\times{10}^5\\ &1\ 385\ 623\ 456=1.385623456\times{10}^9\\ &0.000\ 003\ 5=3.5\times{10}^{-6}\\ &1km=1\ 000m\Longrightarrow1km={10}^3m\\ &1\ \mathrm{nanometro}=0.000\ 000\ 001m\Longrightarrow1nm={10}^{-9}m\\ &\mathrm{Masa~ de~ un~ electrón~} 9.11\times{10}^{-31}\ kg\\ &\mathrm{Masa~ del~ Sol~} 1.99 \times{10}^{30}kg \end{align} ¿Podría leer estas cantidades si estuvieran escrita con todos los ceros?

Notación científica.
En ciencias se utilizan números que por lo general son muy grandes o muy pequeños, y por tanto es útil expresar estos números como potencias de diez, algunos ejemplos de esto son: \begin{align} &\mathrm{Masa~ del~ Sol~} \approx1.99\cdot10^{30}kg\\ &\mathrm{Masa~ de~ la~ Tierra~} \approx5. \cdot{10}^{24}kg\\ &\mathrm{Masa~ de~ un~ electrón}~ \approx9.11\cdot{10}^{-31}kg\\ &\mathrm{Masa~ de ~un~ protón~} \approx1.67\dot{10}^{-27}kg\\ &\mathrm{Carga~ de~ un~ electrón}~ \approx-1.60\cdot{10}^{-19}C\\ &\mathrm{Carga~ de~ un~ protón~} \approx1.60\cdot{10}^{-19}C\end{align} Como puede notar escribir estas cantidades de manera convencional sería un tanto tedioso, sin embargo, al escribirlas como un producto se dice que una cantidad está en notación científica cuando se escribe en la forma \(c\times{10}^n\) donde \(1\le c< 10\) (uno es menor o igual que \(c\) y \(c\) menor que diez), pero ¿cómo se determinan estos resultados?

Para una cantidad \(c\) cualquiera se tiene: $$c\times\frac{{10}^n}{{10}^n}=c\ \mathrm{por ~ser~} \frac{{10}^n}{{10}^n}=1 ~\mathrm{que~es~el~elemento~neutro}.$$ De modo que, para escribir una cantidad en notación científica, se necesita multiplicar y dividir por \({10}^n\) para que no se altere la cantidad.
Si la cantidad es menor que uno, la acción para tener \( c\times{10}^n\) la ejerce el numerador y si es mayor que uno el denominador.

Ejemplo 1. Expresar en notación científica las cantidades siguientes. \begin{align} &a.~ 230\ 000\ 000\ \Longrightarrow2.3\times{10}^8\\ &b.~ 0.000\ 000\ 0345\Longrightarrow3.45\times{10}^{-8}\end{align} El manejo matemático hecho para esto es como sigue: para que \(230\ 000\ 000\) sea \(2.3\ \times{10}^n\) es necesario dividir entre \({10}^8\) (mover el punto decimal que está en el final ocho lugares a la izquierda) y para que no alterar la cantidad se debe multiplicar también por \({10}^8\). El detalle de este manejo aritmético es como sigue: $$\begin{array}1 230\ 000\ 000=230\ 000\ 000 \times\frac{10^8}{10^8}=\frac{230\ 000\ 000}{10^8}\times10^8\\ 230\ 000\ 000=2.3\times10^8 ~~\mathrm{dividiendo~ y expresando~ la~ multiplicación}. \end{array}$$ De igual forma, $$\begin{array}1 0.000\ 000\ 003\ 45=0.000\ 000\ 003\ 45 \times\frac{10^9}{10^9}=\frac{0.000\ 000\ 003\ 45 \times10^9}{10^9}\\ 0.000\ 000\ 003\ 45=3.45\times10^{-9} \mathrm{multiplicando~y~por~ser~} \frac1{x^n}=x^{-n} \end{array} $$ Como conclusión a esto se dice que al escribir una cantidad en notación científica si se desplaza el punto hacia la izquierda \(n\) lugares, el exponente de la potencia de diez será \(n\). Si se desplaza el punto \(n\) lugares hacia la derecha el exponente de la potencia de diez será \(–n\).

Ejemplo 2. Escribir en notación científica \(440\ 000\ 000\)
Solución: para que \(440\ 000\ 000\) esté entre uno y diez para la forma \(c\times10^n\) es necesario "mover el punto" ocho lugares a la izquierda, de donde, \begin{align} &440\ 000\ 000=440 000 000 \times \frac{10^8}{10^8}\\ &440\ 000\ 000=\frac{440\ 000\ 000}{10^8} \times 10^8\\ &440\ 000\ 000=4.4 \times 10^8 \ \ \mathrm{dividiendo}\end{align} Una propiedad importante de los exponentes que debe ser recordada antes de continuar es, $$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$$ esta propiedad se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Escribir en notación científica \(0.000\ 000\ 003\ 45\)
Solución: para que \(0.000\ 000\ 003\ 45\) esté entre uno y diez para la forma \(c\times10^n\) hay que "mover el punto" nueve lugares a la derecha, de donde se tiene, \begin{align} &0.000\ 000\ 003\ 45=0.000\ 000\ 003\ 45 \times \frac{10^9}{10^9}\\ &0.000\ 000\ 003\ 45=\frac{0.00000000345 \times 10^9}{10^9}\\ &0.000\ 000\ 003\ 45=\frac{3.45}{10^9}\\ &0.000\ 000\ 003\ 45=3.45 \times 10^{-9}~~\mathrm{por~ ser}~\frac1{x^n}=x^{-n}\end{align}

Para más contenidos clic en Ir arriba y luego clic en la pestaña del contenido deseado.

Cifras significativas.

El número de cifras significativas son los dígitos significativos en una cantidad medida o calculada, sirven para expresar cierta información acerca de la incertidumbre.

Cuando se miden ciertas cantidades, los valores medidos se conocen solo dentro de los límites de la incertidumbre experimental. El valor de esta incertidumbre depende de varios factores, como son el experimentador, el número de mediciones realizadas, el instrumento de medición, factores ambientales, entre otros. Salvo cuando todos los números sean enteros, por ejemplo, contar el número de personas, suele ser imposible obtener el valor exacto de la cantidad que se investigue.

Es importante señalar el margen de error en una medición al indicar con claridad el número de cifras significativas. Al usar las cifras significativas, se da por entendido que el último digito es incierto. Por ejemplo, al medir el volumen de cierto líquido con una probeta graduada con una escala tal que la incertidumbre en la medición sea de \(1ml\) (división de la probeta) si el volumen resulta ser de \(6ml\), entonces el volumen real se ubica en el intervalo de \(5ml\) a \(7ml\). Ese volumen se representa como \((6 ± 1)ml\).

En este caso, existe una sola cifra significativa (el digito 6) con incertidumbre de más o menos 1ml. Al usar una probeta graduada con divisiones menores, de modo que ahora el volumen medido tenga incertidumbre de apenas \(0.1ml\) si el volumen del líquido resulta de 6.0ml, la cantidad se expresaría como \((6.0 ± 0.1)ml\) y el valor real se ubicaría entre \(5.9ml\) y \(6.1ml\). A mayor graduación del instrumento de medida, menor margen en el error por el instrumento.

Lineamientos para el uso de cifras significativas.
En el trabajo científico, siempre debe tener cuidado de escribir el número adecuado de cifras significativas. En general, es más bien sencillo determinar cuántas cifras significativas tiene un número, si se acatan las reglas siguientes:
1. Todo dígito distinto de cero es significativo.De tal modo que \(132cm\) tiene tres cifras significativas, \(16.43{\rm kg}\) tiene cuatro, y así sucesivamente.

2. El cero es significativo entre dos dígitos distinto de cero. Así \(507m\) incluye tres cifras significativas, \(70 408{\rm kg}\) posee cinco cifras significativas, etc.

3. Los ceros a la izquierda del primer digito distinto de cero no son significativos. Su propósito es indicar la ubicación del punto decimal. Por ejemplo, \(0.08L\) tendría una cifra significativa \(0.0000349{\rm g}\) tres cifras significativas y así sucesivamente.

4. Si un número es mayor o igual que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal cuentan como cifras significativas. Por ejemplo, \(2.0 {\rm mg}\) tiene dos cifras significativas; \(40.062ml\) cinco y \(3.040dm\) cuatro cifras significativas.

5. En el caso de números menores que la unidad, son significativos solo los ceros que están al final del número y los que aparecen entre dígitos distintos de cero. Así \(0.090{\rm kg}\) tiene dos cifras significativas, \(0.3005L\) cuatro, \(0.00420min\) tres, y así sucesivamente.

6. En cuanto a números que no incluyen el punto decimal, los ceros que están a la derecha (es decir, después del último digito distinto de cero) podrían ser significativos o no. Así, \(400cm\) tendría una cifra significativa (el digito 4), dos (40) o tres (400).Es imposible afirmar cuál de las opciones es la correcta sin más información, sin embargo, con la notación científica se evitan tales ambigüedades. En este caso particular, es posible expresar el número \(400\) como \(4\times{10}^2\) para considerar una cifra significativa \(4.0\times{10}^2\) para dos cifras, o \(4.00\times{10}^2\) para tres cifras significativas (las potencias de diez no son cifras significativas).

Ejemplo. Determinación de cifras significativas. Determine el número de cifras significativas en las mediciones siguientes:
$$\begin{array}{l l l} a.~~ 478cm~~&b.~~ 6.01g~~&c.~~0.825m\\ d.~~0.043kg~~& e.~~1.310\times{10}^{22}~~\mathrm{ átomos}&~~ f.~~ 7000 ml.\end{array}$$ Solución:
\(a.\) Tres, cada digito es distinto de cero.
\(b.\) Tres, los ceros entre los dígitos distintos de cero son significativos.
\(c.\) Tres, los ceros a la izquierda del primer digito distinto de cero no cuentan como cifras significativas.
\(d.\) Dos, por la misma razón que en el caso anterior.
\(e.\) Cuatro, el número es mayor que la unidad, por tanto, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal son significativos.
\(f.\) Este es un caso ambiguo. El número de cifras significativas puede ser cuatro \((7.000\times{10}^3)\), tres \((7.00\times{10}^3)\), dos \((7.0\times{10}^3)\) o una \((7\times{10}^3)\). Este ejemplo ilustra por que debe usarse la notación científica para indicar el número correcto de cifras significativas.

Manejo las cifras significativas en los cálculos.
A fin de poder aproximar una cantidad hasta ciertas cifras se presenta el procedimiento de redondeo en cierto punto, el cual consiste en eliminar los dígitos que siguen a dicho punto si el primero de ellos es menor que cinco. Así pues, \(8.954\) se redondea a \(8.95\) si solo se necesitan tres cifras significativas. En caso de que el primer digito después del punto de redondeo sea igual o mayor que cinco, se agrega uno al digito precedente. De tal suerte, \(8.725\) se redondea a \(8.73\).El procedimiento para las operaciones aritméticas con cifras significativas se realiza como sigue:

1. En la adición y sustracción, la respuesta no puede tener más dígitos a la derecha del punto decimal que los presentes en la cantidad que tenga menor números de cifras decimales, por lo cual deberá recurrirse al redondeo.

2. En la multiplicación y división, el número de cifras significativas en el producto o cociente final se determina con base en el número original que tenga la menor cantidad de cifras significativas o sea el resultado debe escribirse con el número de cifras significativas de la cantidad que tenga menor cifras significativas.

3. Tenga presente que puede considerarse que los números exactos obtenidos de definiciones o al contar el número de objetos poseen un número infinito de cifras significativas. Por ejemplo, se define la pulgada exactamente como 2.54 centímetros, es decir, 1pulgada es exactamente 2.54 centímetros (1in=2.54cm) por tanto, “2.54” en la ecuación no debe interpretarse como un numero medido con tres cifras significativas.

En cálculos que implican la conversión de pulgadas a centímetros, “1” y “2.54” se manejan como si tuvieran un número infinito de cifras significativas. De igual manera, si se tienen nueve objetos de masa \(m=5.0{\rm g}\) la masa total será \(m_t=9\times5.0g=45{\rm g}\). La respuesta tiene dos cifras significativas ya que el número \(9\) es exacto y \(5.0{\rm g}\) tiene dos cifras significativas.

Resumen final
En la suma y resta, la cantidad de decimales en la respuesta depende del número que tenga la menor cantidad de decimales. En la multiplicación y división, la cantidad de cifras significativas de la respuesta se determina según el número que tenga menos cifras significativas. Las potencias de diez no se consideran cifras significativas.

Para más contenidos clic en Ir arriba y luego clic en la pestaña del contenido deseado.