Sumatorias y sumas de Reimann.
Con los conocimientos matemáticos de la geometría euclidiana se puede determinar el área encerrada por una figura plana como un polígono y áreas de regiones circulares, sin embargo, aún queda el problema de determinar el área limitada por una curva. Con la ayuda del cálculo se puede dar solución a esta cuestión.
En primer lugar, se introduce la notación de sumatoria o notación sigma (esto por el uso de la letra griega sigma mayúscula).
Notación sigma
La suma de \(n\) términos consecutivos \(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\) se escribe como,$$\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$$ Donde \(i\) es llamado índice de suma, tal que \(i\le n, \ a_i\) es el í-ésimo término de la suma y los límites inferiores y superiores de la suma son \(1\) y \(n\) respectivamente.
Ejemplo 1. Determinar la suma de los primeros cien números naturales.
Solución: aplicando la definición de sumatoria,
$$S=\sum_{i=1}^{100}i=1+2+3+\ldots+99+100=5050$$
Ejemplo 2. Una suma de fracciones. Determinar la suma dada por, $$S=\sum_{i=1}^{5}\frac{2}{i}$$
Solución: de la fórmula de sumatoria,
$$S=\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}=\frac{137}{30}$$
Ejemplo 3. Sumatoria de un producto. Determinar la suma dada por,
$$S=\ \sum_{i=1}^{4}i\left(i+1\right)$$
Solución: sustituyendo \(i\) desde uno hasta cuatro.
$$S=1\left(1+1\right)+2\left(2+1\right)+3\left(3+1\right)+4\left(4+1\right)=40$$
A continuación, algunas propiedades del operador sigma las cuales ya han sido de mostradas en el pasado por figuras prominentes. La aplicación de estas propiedades permite ahorrar tiempo al realizar las operaciones.
Propiedades de la notación sigma.
Sean \(c,~k.~m, \) y \(n \in \mathbb{R}\) cualquiera, donde \(c\) es distinta de cero, entonces las siguientes expresiones son válidas. \begin{align} &1.\ \sum_{i=1}^{n}c=cn\\ &2.\ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ &3.\ \sum_{i=k}^{n}i^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\ &4.\ \sum_{i=k}^{n}i^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\\ &5.\ \sum_{i=a}^{n}{f(i)}= \sum_{i=0}^{n-a}{f(i+a)}\\ &6.\ \sum_{n=0}^{p}{f(n)}=\sum_{n=0}^{c}{f(n)}+\sum_{n=c+1}^{p}{f(n)}\\ &7.\sum_{n=0}^{p}\sum_{m=0}^{q}{f(n,m)}= \sum_{m=0}^{q}\sum_{n=0}^{p}{f(n,m)}\\ &8.\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}\ \ {\rm si} \ \left|z\right|< 1\\ &9. \sum_{n=k}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n-a_0-a_1-a_2\ \cdots\ -a_{k-1}}\end{align} Sean \(c,k\) y \(n \in\mathbb{R}\) cualquiera, donde \(c\neq0\) y \(k\le n,\) entonces se tiene \begin{align} 1.\ \sum_{i=k}^{n}{ca_i}=c\sum_{i=k}^{n}a_i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Multiplo\ constante.}\\ 2.\ \sum_{i=k}^{n}\left(a_i\pm b_i\right)=\sum_{i=k}^{n}a_i\pm\sum_{i=k}^{n}b_i\ \ \ {\rm Linealidad}\end{align}