Funciones logarítmicas.

Al estudiar las funciones se expresó que “una función es invertible si y solo si, es inyectiva” y dado que la función exponencial \(f\left(x\right)=a^x\) es inyectiva debe existir otra función la cual sea la inversa de \(f\left(x\right)=a^x,\) dicha función es la función logarítmica. Por tanto, se define la función logarítmica con base \(a>0\) y \(a\neq1\) como: $$y=\log_a{x}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \ a^y=x.$$

Lo anterior expresa que si el logaritmo de un número \(x\) en el sistema de base \(a\) es \(y\) se cumple que \(a\) elevado a la \(y\) es igual a \(x.\) por ejemplo:
\(1.~~\log_2{8}=3\Longrightarrow2^3=\)
\(2.~~\log_5{625}=4\Longrightarrow5^4=625\)
\(3.~~\log_{10}{1\ 000\ 000}=6\Longrightarrow{10}^6=1\ 000\ 000\)
\(4.~~\log_3{81}=4\ \ \ \ \Longrightarrow\ 3^4=81\)

Dominio y rango de la función logarítmica. Para cualquier valor \(a>0\) no existe un número real \(y\) para el cual \(a^y\) devuelva un número negativo y dado que \(y=\log_a{x}\) equivale a \(a^y=x\) entonces \(x\) no es negativa (ni cero), así que \(x\geq0\) y el dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos \(\mathbb{R}^+\).

El rango (codominio) es el conjunto de los números reales, ya que al evaluar un logaritmo se puede encontrar según sea el valor de la base y el número dado cualquier número real, sea positivo o negativo. La siguiente tabla muestra ejemplos de funciones que son escritas tanto en su forma exponencial como en su forma logarítmica para su mejor comprensión.

Forma exponencial	Forma logaritmica
\(a^x=y\)	\(\log_a{y}=x\)
\(5^4=625\)	\(\log_5{625}=4\)
\({27}^\frac{1}{3}=3\)	\(\log_{27}{3}=\frac{1}{3}\)
\({10}^{-5}=0.00001\)	\(\log_{10}{0.00001}=-5\)
\(n^2=x\)	\(\log_n{x}=2\)

Características o propiedades de la función logarítmica.

1. Es inyectiva, por ser la inversa de otra función (la función exponencial).
2. Su dominio es el conjunto de los números reales positivos \(\mathbb{R}^+\), esto es \(\left(0,\ \infty\right)\).
3. Su rango o codominio es el conjunto de los números reales \(\mathbb{R},\) esto es \(\left(-\infty,\ \infty\right).\)
4. Su gráfica interseca el eje de abscisas (eje \(x\)) en el punto \(\left(1,\ 0\right).\) No posee ninguna intersección con el eje \(y\) (en su forma original) ya que éste es una asíntota vertical de la gráfica.

La función es creciente para \(a>1\) y decreciente para \(0< a< 1.\) Lo cual expresa que su gráfica se mueve para \(a>1\) desde la izquierda hacia la derecha y para \(0 < a< 1\) desde la derecha hacia la izquierda sin tocar en ambos casos el eje \(y\) por ser asíntota vertical.
Es continua en todo su dominio, esto es en el intervalo \(\left(0,\ \infty\right).\)

Función logaritmo natural.

La función \(f\left(x\right)=e^x\) es la función exponencial natural y dado que es inyectiva, tiene inversa, esta inversa es la función logaritmo natural.
Si en la función logarítmica \(y=\log_a{x}\) la base \(a=10\) estos reciben el nombre de logaritmos comunes o bulgares, y el subíndice \(10\) no se escribe, es decir \(y=\log_{10}{x}=\log{x},\) mientras que si la base \(a=e\) reciben el nombre de logaritmos naturales y se escriben como \(\log_e{x}=\ln{x}\) lo cual se lee como “logaritmo natural de \(x\)”. De donde se afirma que \(y=\ln{x}\ \Longleftrightarrow\ e^y=x\).

Propiedades de los logaritmos:
\(\log_a{x}=n\Longleftrightarrow a^n=x\) Definición de logaritmo.
\(\log_a{1}=0~~~~\) Logaritmo de la unidad para cualquier base.
\(\log_a{b}=1~~~~~~\) Logaritmo de la base.
\(\log_a{-x}=no~ existe~ en ~\mathbb{R}\).
\(\log_a{\left(xy\right)}=\log_a{x}+\log_a{y}~~\) Logaritmo de un producto.
$$\log_a{\left(\frac{x}{y}\right)}=\log_a{x}-\log_a{y}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Logaritmo\ de\ un\ cociente.$$ \(\log_a{x^n}=n\log_b{x}~~~\) Logaritmo de una potencia.
\(\log_a{x}=\frac{\log_n{x}}{\log_n{a}}~~~\) Propiedad de cambio de base.
\(\log_e{x}=\ln{x}~~~~\) Definición de logaritmo natural.

Nota: Todas las propiedades de los logaritmos se cumplen para los logaritmos naturales.

Cuidado dos errores comunes que comenten los estudiantes es pensar que las siguientes expresiones para el cálculo de logaritmos son correctas.

$$1.~~ \log_n{\left(u+v\right)}=\log_n{u}+\log_n{v}~~ y ~~2. \frac{\log_n{u}}{\log_n{v}}=\log_n{x}-\log_n{y}$$ Debe de tener pendiente que:
$$\textcolor{#ff0080}{\log_b{\left(x+y\right)}\neq\log_b{x}+\log_b{y}}\ \ \ y~ ademas~ que, \ \ \textcolor{#ff0080}{ \frac{\log_n{x}}{\log_n{y}}\neq\log_n{x}-\log_n{y}}$$

Las expresiones anteriores son incorrectas ya que no hay manera en la que se pueda reformular. Se debe procurar no caer también en este error.

Ejemplo 1. Resolver las siguientes ecuaciones.

$$1.~~ 5^{x-2}=1\ \ \ \ 2)\ e^{5x-2}=30\ \ \ \ 3. \left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x-2}}=0\ \ \ \ 4)\ \left(\log{x}\right)^2+\log{x}=2$$

Solución 1. \(5^{x-2}=1\)
\(\Longrightarrow\ \log{5^{x-2}}=\log{1}~~~\) Tomando logaritmos en ambos miembros.
\(\left(x\ -\ 2\right)\log{5}=\log{1}~~~~\) Por ser \(\log{u^n}= n\log{u}\)
\(\left(x-2\right) \log{5}=0~~~\) Por ser \(\log{1}=0\)
\(x-2=0~~~\) Dividiendo ambos miembros entre \(\log{5}\)
\(x=2~~~~~~\) Restando dos en ambos miembros.
Comprobando:
\(5^{2-2}=1\Longleftrightarrow5^0=1\)
Esta ecuación pudo haberse resulto más fácil, si se recuerda la propiedad de los exponentes \(x^0=1 \forall \ x:x \ \in\ \mathbb{R}\) de donde se puede proceder como sigue:
$$5^{x-2}=1\Longrightarrow5^{x-2}=5^0\rightarrow x-2=0\leftrightarrow x=2$$

Solución 2.
\(~~ e^{5x-2}=30\).
\(\ln{e^{5x-2}}=\ln{30}\ \ \ \ \ \ \ \) Tomando \(\ln\) en ambos miembros.
\(\left(5x-2\right)\ln{e}=\ln{30}\) Logaritmo de una potencia.
\(\left(5x-2\right)\ln{e}=\ln{30}\ \ \ \ln{e}=1\) Por la propiedad \(\log_b{b}=1\)
\(x=\frac{\ln{30}+2}{5}~~~~\) Despejando \(x\)

Solución 3.
$$\left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0$$ \(e^{2x^2}-e^{-\left(5x+3\right)}=0~~~~~~~\) Por ser \(1/e^u=e^{-u}\)
\(e^{2x^2}-e^{-5x-3}=0~~~\) Realizando operaciones.
\(e^{2x^2}=e^{-5x-3}~~~~~~~~~~\) Sumando \(e^{-5x-3}\) en ambos miembros.
\(2x^2=-5x-3~~~~~~~~~~\) Potencias iguales, de igual base, exponentes iguales.
\(2x^2+5x+3=0~~~\) Igualando a cero.
\(\left(x+1\right)\left(2x+3\right)=0~~~\) Factorizando
$$\left\{\begin{array}1x+1=0\Longrightarrow x=-1\\2x+3=0 \Longrightarrow x=-3/2\end{array}\right.$$ Resolviendo los factores.

Comprobando los resultados.
Si \(x=-1\) la ecuación \(\left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0\) se transforma en:
$$\left(e^2\right)^{\left(-1\right)^2}-\frac{1}{e^{5\left(-1\right)+3}}=0\Longrightarrow e^2-\frac{1}{e^{-2}}=0\Longleftrightarrow e^2-e^2=0.$$ Que es verdadero y por tanto, \(x=-1\) es solución.
$$Si~~x=-\frac{3}{2}~~la~ ecuación~ \left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0$$ Se transforma en: $$e^{\frac92}-e^{\frac92} = 0$$ lo cual verdadero y por tanto \(x=-3/2\) también es solución.

Ejemplo 2.Resolver la ecuación \(135\left(2^{x+3}\right)=320\left(3^x\right)\)

Solución:
\(5\left(3^3\right)2^{x+3}=5(2^6)\left(3^{x-3}\right)~~~~\) Factorizando.
\(2^{x-3}=\left(3^{x-3}\right)~~~~~~~~~~~~~~~~~\) Simplificando y reescribiendo.
\((x-3)\ln{2}=(x-3)\ln{3}~~~~~\) Tomando logaritmos en ambos miembros.
\(\left(x-3\right)\ln{2}-\left(x-3\right)\ln{3}=0~~\) Igualando a cero.
\((x-3)(\ln{2}-\ln{3})=0~~~~~~~~~~~~\) Factorizando.
\(x-3=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\) Dividiendo ambos miembros por \(\ln{2}-\ln{3}\)
\(x=3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\) Despejando \(x\).

Ecuaciones logarítmicas.

Las ecuaciones logarítmicas son ecuaciones en la cual la variable está sujeta a uno o más logaritmos, como por ejemplo: $$\log_2{x^2}+\log_2{2^3}=\log_2{x^3}+\log_2{\frac{1}{32}}.$$ Resolver una ecuación logarítmica es encontrar el valor o los valores que hacen que dicha ecuación sea verdadera. Para resolver una ecuación logarítmica es necesario conocer las propiedades o leyes que cumplen los logaritmos, los cuales se presentan a continuación.

Aplicaciones:

Recompensas. En una compañía se ofrece un incentivo $5.00 en el pago por hora en la primera semana de las ultimas diez del año, por el alcance de un objetivo preestablecido en la producción. Si dicho objetivo es logrado por los trabajadores el incentivo se duplica cada semana. Escriba una función que exprese el pagó por hora laborada que debe hacerse, sabiendo que una hora laboral se paga a un monto inicial M_0. ¿Cuál es el monto que debe pagarse en la última semana por la hora laboral suponiendo que se cumple el objetivo?

Solución parte a. \(M\left(1\right)=M_0+5\)
\(M\left(2\right)=M_0+5\left(2\right)\)
\(M\left(3\right)=M_0+5\left(2^2\right)\)
\(M\left(4\right)=M_0+5\left(2^3\right)\) Así sucesivamente.
\(M\left(n\right)=M_0+5\left(2^{n-1}\right)\)

Solución parte b.: Monto en la décima semana.
\(M\left(10\right)=M_0+5\left(2^{10-1}\right)=M_0+5\left(2^9\right)\)

 

Depreciación. Se compra un automóvil por \($1 800 000\) el cual se deprecia un \(5\%) de su valor cada año. Escribir el valor del automóvil como función del tiempo y determine su valor para el primer y el décimo año de comprado.
Solución: Dado que pierde un \(5\%) anual, entonces se deprecia \(0.05\) de su valor cada año.
\(V\left(1\right)=V_0-0.05V_0=0.95V_0\)
\(V\left(2\right)=0.95V\left(1\right)=0.95\left(0.95V_0\right)={0.95}^2\left(V_0\right)\)
\(V\left(3\right)=0.95V\left(2\right)=0.95\left({0.95}^2\left(V_0\right)\right)={0.95}^3\left(V_0\right)\Longrightarrow V\left(t\right)={0.95}^t\left(V_0\right)\)
\(V\left(1\right)={0.95}^1\left(V_0\right)=0.95\left(1800000\right)=1\ 710\ 000 \)
\(V\left(10\right)={0.95}^{10}\left(V_0\right)={0.95}^{10}\left(1800000\right)=1\ 077\ 726.\ 49\)

Nota: un error que debe evitar es suponer que la depreciación es lineal y calcular está como \(5\%\) durante 10 años es \(50\%\) y luego el \(50\%\) de \(1~800~ 000\) es \(900~ 000\).

Interés compuesto. Ciertas inversiones, como las cuentas de ahorro, o cuando entregamos nuestro dinero en calidad de préstamos pagan una tasa anual de interés, que se puede componer en forma anual, trimestral, mensual, semanal, a diario, etcétera.

Si se invierte una cantidad \(C\) a una tasa \(i\) de interés simple, durante un periodo de tiempo \(t\) se tiene que el monto a recibir \(M\) cada año es la suma de la cantidad invertida más el interés \(\left(Cit\right)\) de donde \(M=C+Cit\Longrightarrow M=C\left(1+it\right)\).

Sin embargo, cuando el interés generado es compuesto (que se compone cada cierto tiempo) el monto como función del tiempo \(M\left(t\right)\) que se recibe al invertir una cantidad \(C\) a una tasa \(r\) en un tiempo \(t\) está dado por la expresión $$M\left(t\right)=c\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$ Este hecho se ilustra a través de la tabla siguiente: Año Cantidad invertida Monto a recibir 1 C M=C+I 2 C+I M=C+I 3 4 t

En general, si una cantidad inicial \(C\) se invierte a una tasa anual de interés \(r\), que se compone n veces por año, la cantidad que hay al final de t años se calcula con la expresión:
$$M=C\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$ Si \(n\) aumenta continuamente en cada instante de tiempo entonces haciendo n=mr el monto está dado por:
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mrt}\Longrightarrow P=P_o\left[\left(1+\frac{r}{m}\right)^m\right]^{rt}$$ Al estudiar cálculo se verá que cuando \(n\) crece sin límite el límite al cual tiende el factor $$\left(1+\frac{r}{m}\right)^m$$ es igual al número \(e\) entonces el pago que se debe hacer es $$P=P_oe^{rt}$$

Ejemplo. Se invierte una cantidad de \(100~000\) en un certificado financiero a una tasa de un \(8.5\%.\) Encontrar el monto a recibir por dicha inversión en un tiempo de seis años si:
La inversión se capitaliza anualmente.
La inversión se capitaliza semestralmente.
La inversión se capitaliza cuatrimestralmente.
La inversión se capitaliza trimestralmente.
La inversión se capitaliza continuamente.

Solución:
Parte \(a.~~ P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=1\)
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{1}\right)^{1\left(6\right)}=163\ 146.75$$ Parte \(b.~~ P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=2\) $$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{2}\right)^{2\left(6\right)}=164~783.13$$ Parte \(c.~~P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=3\)
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{3}\right)^{3\left(6\right)}=165~352.39$$ Parte \(d.~~P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=4\) $$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{4}\right)^{4\left(6\right)}=165\ 641.69$$ Parte \(e. P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n\rightarrow\infty\) $$P=P_oe^{rt}=100000e^{0.085\left(6\right)}=166\ 529.12$$ Note que el dinero no crece al infinito, tiene un límite.

Ej.16