Solución: se pide el cuadrado de un binomio, entonces de la expresión \(\left(w+x\right)^2=w^2+2wx+x^2\) se tiene $$A=w^2+2\left(w\right)\left(2n\right)+\left(2n\right)^2=w^2+4nw+4n^2$$

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Solución: el área está dada por \(A=\left(2a-3n\right)^2\), entonces se pide el cuadrado de la diferencia de un binomio, de la expresión \(\left(w-x\right)^2=w^2-2wx+x^2\) se tiene: $$\left(2a\right)^2-2\left(2a\right)\left(3n\right)+\left(3n\right)^2=4a^2-12an+9n^2$$

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Solución: el área de un rectángulo es \(A=wl\) de donde así que se pide el producto de un binomio conjugado, por tanto de la expresión \((w-x)(w+x)=w^2-x^2\) se tiene, $$\left(5n-4x\right)\left(5n+4x\right)=25n^2-16x^2$$

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Solución: \(A=wl=\left(5x-\sqrt3\right)\left(5x+\sqrt3\right)\) así que se pide el producto de un binomio conjugado, de la expresión \((w-x)(w+x)=w^2-x^2\) se tiene, $$A=\left(5x-\sqrt3\right)\left(5x+\sqrt3\right)=\left(5x\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2=25x^2-3$$

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Solución: se pide el producto de un binomio conjugado (suma por diferencia), por tanto de \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) se tiene, $$\left(\frac{1}{2}-7h\right)\left(\frac{1}{2}+7h\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(7h\right)^2=\frac{1}{4}-49h^2$$

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Solución: un dado es un cubo, por tanto, su volumen es \(V=l^3\) donde \(l\) es la medida de la arista, de esto se tiene \(V=\left(a+b\right)^3\) que tiene la misma forma a \(\left(u+v\right)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\) y por tanto:
\begin{align} &V=\left(a+b\right)^3\\ &V=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{align}

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Solución: \((2m-3n)(2m-3n)(2m-3n)=(2m-3n)^3\) y de la fórmula para el cubo de un binomio \((u-v)^3=u^3-3u^2v+3uv^2-v^3\) se tiene, \begin{align} &(2m-3n)^3=(2m)^3-3(2m)^2(3n)+3(2m)(3n)^2-(3n)^3\\ &(2m-3n)^3=8m^3-3(4m^2)(3n)+3(2m)(9n^2)-27n^3\\ &(2m-3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^2\\ \end{align}

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Solución: como la lámina es cuadrada el área está dada por \begin{align} &A=l^2\\ &A=\left(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n\right)^2\end{align} que aplicando \((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) produce, \begin{align} &A=\left(\frac{1}{3}m\right)^2-2\left(\frac{1}{3}m\right)\left(\frac{1}{2}n\right)+\left(\frac{1}{2}n\right)^2\\ &A=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2\end{align}

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Solución: de la expresión \((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) se tiene:
\begin{align} &\left(\sqrt2m-\sqrt5n\right)^2=2m^2-2\sqrt2m\sqrt5n+5n\\ &\left(\sqrt2m-\sqrt5n\right)^2=2m^2-2\sqrt{10}mn+5n\end{align}

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Solución \(a\): \begin{align} 503^2&=\left(500+3\right)^2\\ 503^2&={500}^2+2\left(500\right)3+3^2\\ 503^2&=250000+3000+9=253\ 009 \end{align} Solución \(b\):
\begin{align} {799}^2&=(800-1)^2\\ {799}^2&=800^2-2(800)1+1^2\\ {799}^2&=640000-1600+1=643 \end{align} Solución \(c\):
\begin{align} {805}^2&=(800+5)^2\\ {805}^2&=800^2+2(800)5+5^2\\ {805}^2&=640000+8000+25=648025 \end{align}

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Solución: el volumen está dado por \(V=wlh=(4u+6)^3.\) Mediante el uso de productos notables, la solución es como sigue. \begin{align} &V=(4u+6)^3=(4u)^3+3(4u)^2(6)+3(4u)(6)^2+6^3\\ &V=(4u+6)^3=64u^3+288u^2+432u+216\end{align}

Compare ahora la solución mediante el uso de multiplicación. \begin{align} &V=(4u+6)^3\\ &V=\left(4u+6\right)\left(4u+6\right)\left(4u+6\right)\\ &V=(4u(4u+6)+6(4u+6))\left(4u+6\right)\\ &V=\left(16u^2+24u+24u+36\right)\left(4u+6\right)\\ &V=\left(16u^2+48u+36\right)\left(4u+6\right)\\ &V=4u\left(16u^2+48u+36\right)+6\left(16u^2+48u+36\right)\\ &V=64u^3+192u^2+144u+96u^2+288u+216\\ &V=64u^3+288u^2+432u+216\end{align} Como puede notar, es un gran ahorro de tiempo conocer los productos notables.

Solución:

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