Álgebra de polinomios.

Un polinomio es una expresión algebraica que consta de uno o varios términos en la cual todo los exponentes de las variables son enteros positivos, así un polinomio en la variable equis se escribe en la forma, $$P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0$$ donde \(n\) es un entero tal que ningún exponente es negativo y la expresión \(P(x)\) se lee “pe de equis”.

Las cantidades \(a_n,\ a_{n-1}\cdots,\ a_1,\ a_0\) son llamadas coeficientes del polinomio. \(a_nx^n\) es el término principal (que tiene mayor grado) por tanto, \(a_n\) es el coeficiente principal, el término \(a_0\) es llamado término independiente (término que no depende de \(x\).

Así para \(P\left(x\right)=12x^4+x^3-10x^2+2x+5\) se tiene que \(12x^4\) es el término principal, \(12\) es el coeficiente principal y \(5\) es el término independiente. La expresión \(P\left(x\right)=3\sqrt x+5\) ó \(P\left(x\right)=3x^{-3}-9\) no son polinomios porque, no cumplen la definición (exponentes enteros positivos).

Una expresión algebraica en la cual algún término posee al menos una variable con exponente negativo es una expresión racional, y no se considera un polinomio, y una expresión como \(P\left(x\right)=3\sqrt{x}+5\) es una expresión irracional, ambos casos se estudiarán más adelante.

Para un polinomio en dos variables \(w\) y \(x\) se escribe \(P\left(w,x\right)\) lo cual se lee “pe de \(w\) coma \(x\)”, por ejemplo \(P\left(w,x\right)=w^4x^3+5w^2x-12\). También se suele escribir polinomios en tres variables \(P\left(x,y,z\right)\) debido al carácter tridimensional de del espacio.

Grado de un polinomio.
el grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado absoluto, así \(P\left(w,x\right)=10w^4+3w^2x+6x^5\) es de quinto grado por ser \(6x^5\) el término de mayor grado absoluto. La expresión \(P\left(w,x\right)\) se lee “pe de \(w\) coma \(x\)”

El grado con relación a una letra es el mayor exponente que tiene dicha letra en el polinomio. Por ejemplo, para \(P\left(w,x\right)=10w^4+3w^2x+6x^5\) el grado con respecto a \(w\) es cuatro y respecto a \(x\) es cinco.

Clasificación de los polinomios según el número de términos.

1. Monomio, polinomio de un término, por ejemplo \(3x^2\) y \(4abc\) sin embargo, en sentido estricto una letra o un número cualquiera representan un monomio.

2. Binomio, polinomio de dos términos por ejemplo \(P(x)=3x+5\)

3. Trinomio, polinomio de tres términos, por ejemplo \(P(x)=ax^2+bx+c\) y \(5x^3-3x^2+3\)
4. Polinomios de más de tres términos, por lo general son llamados únicamente como polinomios sin ningún tipo de prefijo, una ligera excepción es el llamado cuatrinomio cuadrado perfecto por algunos autores, sin embargo, no se considerará esta excepción por considerase irrelevante. Dos ejemplos de este caso son;
\(x^3+3x^2+3x+1\) y \(5x^5-7x^4+2x^3-7x^2-3\)

Clasificación según tipo de términos.
De acuerdo a la clasificación de sus términos los polinomios se pueden clasificar a su vez, en la manera siguiente.

Se dice que un polinomio entero es aquel que tiene todos sus coeficientes enteros y polinomio fraccionario es aquel en el cual al menos uno de sus coeficientes es fraccionario. Por ejemplo: \begin{align} &P\left(x\right)=2x^4+3x^2+5~~\mathrm{es~entero}\\ &P\left(x\right)=\frac{2}{5}x^4+3x^2+5~~\mathrm{es~fraccionario}\end{align} Un polinomio es racional cuando todos sus términos son racionales (no tienen radicales irreducibles), y es irracional si al menos uno de sus coeficientes es irracional. Los polinomios del ejemplo de arriba son racionales. En cambio \(P\left(x\right)=\sqrt2 x+5\) es un polinomio irracional. Así por ejemplo
\(P\left(x\right)=x^2-\sqrt{25}\) es un polinomio racional.
\(P\left(x\right)=x^2-\sqrt{13}\) es un polinomio irracional debido a que \(\sqrt{13} \in \mathbb{Q'}\)

Polinomio homogéneo es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, en caso contrario es heterogéneo.
\(P\left(x,y\right)=x^4+3x^3y+5y^4\) es homogéneo (términos de igual grado absoluto).
\(P\left(x,y\right)=x^4+3x^3y+5\) es heterogéneo (términos de distinto grado absoluto).

Polinomio completo es aquel que tiene todos los exponentes (potencias) sucesivos desde \(n\) hasta cero o viceversa.
\(P\left(x\right)=x^4+3x^3-4x^2+10x\) es completo en \(x\).
\(P\left(x,y\right)=x^4y^3+3x^3y^4-4x^2y^2+10xy^5+8\) es completo en \(x\) mas no lo es en \(y\).

Polinomio ordenado con respecto a una letra. Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra, cuando todos sus términos están ordenados de menor a mayor, o de mayor a menor potencia.
\(P\left(x\right)=10x^4+7x^2+8\) está ordenado de manera descendente, pero no completo.
\(P\left(x\right)=8+7x^2+10x^4\) está ordenado de manera ascendente, pero no completo.
\(P\left(x\right)=x^4y^3+3x^3y^4-4x^2y^2+10xy^5+8\) está ordenado descendente y completo con respecto de \(x\), no así con respecto de \(y\).

Polinomio nulo es aquel en el cual todos sus términos son cero. Por ejemplo \(P\left(x\right)=0x^4+0x^3-0x^2=0\).

Polinomio mónico es un polinomio cuyo coeficiente principal es uno. Por ejemplo: \(P\left(x\right)=x^2+3x+5\) es mónico, mientras que \(P\left(x\right)=2x^2+3x+5\) no es mónico.

Polinomio constante es un polinomio que no pose parte literal. Por ejemplo \(P(x)=3\)

   Binomios conjugados.
Dado un binomio cualquiera \(P\left(x\right)=x-w\) entonces el polinomio \(P\left(x\right)=w+x\) es su binomio conjugado. Este polinomio resulta al cambiar un signo de uno de los términos del binomio.
Ejemplo. Escriba los binomios conjugados de los polinomios dados:
\(P\left(x\right)=3x-4 \Longrightarrow P\left(x\right)=3x+4\) es conjugado.
\(P\left(x\right)=4-3x \Longrightarrow P\left(x\right)=4+3x\) es conjugado.
\(P\left(x\right)=3x+4 \Longrightarrow P\left(x\right)=3x-4\) ó \(P\left(x\right)=4-3x\) son conjugados.

Note que el único caso en el cual se ha escrito dos polinomios para el binomio conjugado es el caso para el cual ambos términos del polinomio son positivos, esto es porque el binomio conjugado solo cambia un signo de uno de los términos y ya que ambos son positivos se puede cambiar el signo de un término cualquiera.

Las expresiones irracionales binómicas también poseen sus expresiones binómicas conjugadas, así \(1+\sqrt2\) es el conjugado de \(1-\sqrt2\) o viceversa.

Forma estándar de un polinomio
Para un polinomio en una sola variable es la forma que resulta de ordenar un polinomio de manera descendente, esto es, $$P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0$$ Así por ejemplo \(P\left(x\right)=x^4+3x^3-4x^2+10x\) está en forma estándar, mientras que si se escribe este como \(P\left(x\right)=10x-4x^2+3x^3+x^4\) no está en forma estándar ya que está ordenado de manera ascendente.

Al trabajar con polinomios es conveniente escribir los polinomios en la forma estándar antes de empezar con las operaciones, de este modo la respuesta quedará en la forma estándar.

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