Adición de polinomios.
Recurde que términos semejantes son aquellos que tienen iguales variables (letras) afectadas de los mismos exponentes. (igual letra, igual potencia).
\(12xy\) es semejante con \(-14xy\)
\(20x^2\) es semejante con \(36x^2\)
\(5b^3\) es semejante con \(-2b^3\) mientras que \(7wx^2\) no es semejante con \(7w^2x\) debido a que, aunque tienen las mismas letras, éstas no tienen las mismas potencias.
Reducción de términos semejantes.
La adición de polinomios se inicia con la reducción de de términios semejante, reduccir dos o más términos semejantes es sumar o restar sus coeficientes, escribiendo la misma parte literal con los mismos exponentes.
Para estos fines se agrupan los coeficientes de cada una de las letras y se realizan las operaciones indicadas como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplos de reducción de términos semejantes (suma de monomios). \begin{align} &1.~~3km+5km-2km\Longrightarrow\left(3+5-2\right)km=6km\\ &2.~~4h-8h+5h\Longrightarrow\left(4-8+5\right)h=h\\ &3.~~\frac{3}{2}m+\frac{1}{4}m-\frac{2}{3}m\Longrightarrow\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\right)m=\left(\frac{18+3-8}{12}\right)m=\frac{13}{12}m\\ &4.~~3km+5h+8km-3h\ \ \Longrightarrow\left(3+5\right)km+\left(8-3\right)h=8km+5h\end{align} Como puede notar para reducir los términos semejantes solo basta con simplificar los coeficientes.
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Adición de polinomios con coeficientes enteros.
Concepto de suma o adición de polinomios es una operación que tiene por objeto dada dos o más cantidades llamadas sumandos hallar otra cantidad llamad suma o total.
Regla general: para sumar dos o más polinomios se agrupan los términos semejantes y se reducen los coeficientes teniendo en cuenta las leyes de los signos y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición \(\textcolor{#ff0080}{a}\left(m+n\right)=\textcolor{#ff0080}{a}m+\textcolor{#ff0080}{a}n.\)
1. \(\textcolor{#ff0080}{5}\left(m+n\right)=\textcolor{#ff0080}{5}m+\textcolor{#ff0080}{5}n\)
2. \(10-2\left(m-n\right)=10-2m+2n\)
3. \(7\left(3x-2w\right)=21x-14w\)
4. \(-3\left(2w-4x-3n\right)=-6w+12x+9n\) que ordenado es \(9n-6w+12x\)
5. \(3x+4w-3(2x-5w)=3x+4w-6x+15w\) que simplificando otra vez y ordenado es \(19w-3x.\)
7. Signos de agrupación. Realizar la suma de,
\(S=2\left\{4w+2\left[5m+3n-\left(2m-3n\right)+2\left(4w+3\right)\right]\right\}\)
Solución:
\begin{align}
&S=2\left\{4w+2\left[5m+3n-2m+3n+8w+6\right]\right\}\\
&S=2\left\{4w+2\left[3m+6n+8w+6\right]\right\}\\
&S=2\left\{4w+6m+12n+16w+12\right\}\\
&S=2\left\{20w+6m+12n+12\right\}\\
&S=40w+12m+24n+24\\
&S=12m+24n+40w+24~\mathrm{ordenando}\end{align}
8. Signos de agrupación. Realizar la suma de,
\(S=18x-\left\{-7x+\left[5x-2x-y-4y\right]-6x\right\}\)
Solución:
\begin{align}
&S=18x-\left\{-7x+5x-2x-y-4y-6x\right\}\\
&S=18x+7x-5x+2x+y+4y+6x\\
&S=28x+5y\end{align}
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Adición de polinomios con coeficientes fraccionarios.
Para sumar dos o más polinomios con coeficientes fraccionarios se procede como en la suma de polinomios con coeficientes enteros, agrupando los términos semejantes y reducciendo los coeficientes, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1. Realizar la suma de $$S=\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{9}w\right)+\left(\frac{6}{7}w+\frac{4}{6}x\right)$$ Solución: aplicando la regla de la adición. \begin{align} S&=\frac{3}{5}x+\frac{2}{9}w+\frac{6}{7}w+\frac{4}{6}x\\ S&=\left(\frac{2}{9}+\frac{6}{7}\right)w+\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{6}\right)x\\ S&=\frac{63\div9\cdot2+63\div7\cdot6}{63}w+\frac{6\left(3\right)+5\left(4\right)}{30}x\\ S&=\frac{14+54}{63}w+\frac{18+20}{30}x\\ S&=\frac{68}{63}w+\frac{38}{30}x\\ S&=\frac{68}{63}w+\frac{19}{15}x\end{align} Ejemplo 2. Realizar la suma de, $$\frac{3}{8}x+\frac{7}{9}w+\frac{4}{5}w+\frac{5}{6}x$$ Solución: aplicando las reglas de la adición llamando \(S\) a la suma. \begin{align} S&=\left(\frac{7}{9}w+\frac{4}{5}w\right)+\left(\frac{3}{8}x+\frac{5}{6}x\right)\\ S&=\left(\frac{7}{9}+\frac{4}{5}\right)w+\left(\frac{3}{8}+\frac{5}{6}\right)x\\ S&=\frac{7\left(5\right)+9\left(4\right)}{45}w+\frac{6\left(3\right)+4\left(5\right)}{24}x\\ S&=\frac{35+36}{45}w+\frac{18+20}{24}x\\ S&=\frac{71}{45}w+\frac{38}{24}x\\ S&=\frac{71}{45}w+\frac{19}{12}x\end{align}
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