Al trabajar con los conjuntos numéricos la aritmética considera siete operaciones fundamentales, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.
La potenciación es una de las operaciones básicas de la aritmética, consiste en multiplicar un mismo número llamado base, tantas veces como indica otro número llamado exponente.
Así por ejemplo se puede expresar,
\(
2^3=2\times2\times\ 2=8\) y \( 3^5=3\times3\times3\times3\times3=243.\)
La siguiente tabla hace una comparación entre la forma de potencia y la forma de desarrollo de un producto.
\begin{array}{ |c|c|c|}
\hline {\rm Forma~ de~ potencia}& {\rm Desarrollo}& {\rm Resultado}\\
\hline 2^2&2\times2&4\\
\hline 4^3&4\times4\times4&64\\
\hline x^4&x\times{x}\times{x}\times{x}&(?)^4\\
\hline \end{array}
Note que en la última columna de la última fila, el resultado para \(x^4\) se ha escrito como \((?)^4\) esto es, como no se conoce el valor de \(x\) no es posible escribir un resultado.
Así si \(x=1\) entonces \(x^4=(1)^4=1\) en cambio si \(x=3\) entonces \(x^4=(3)^4=81\)
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Propiedades o leyes de los exponentes.
A continuación se presentan las propiedades o leyes de los exponentes, en algunos casos se presenta la demostración de la propiedad mientras que en otro solo se enuncia la propiedad y se presentan algunos ejemplos.
Propiedades de los exponentes
1. \(x^1=x~\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ x|x\in\mathbb{R}\). 2. \(x^n=x\cdot x\cdot x\cdot x~~~~~~~~~\)
La base \(x\) se multiplica \(n\) veces. 3. \(x^m\cdot x^n=\ x^{m+n}~~~~~~~~~~\)
En el producto de igual base los exponentes se suman. 4. \(x^m/x^n=x^{m-n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall x|x\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}\) Cociente de igual base. 5. \(x^0=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall x|x\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}.\) 6. \({\left(x^m\right)\ }^n=x^{m\left(n\right)}~~~~~~~~~~~~\) En potencia de potencia, multiplicar los exponentes. 7. \(\left(u^mv^n\right)^x=u^{mx}v^{nx}~~~~~~~\)
La potenciación es distributiva con la multiplicación. 8. \(\left(\frac{u^m}{v^n}\right)^x=\frac{u^{mx}}{v^{nx}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall v|v \in\mathbb{R}-{0}\) Distributiva con la división. 9. \(x^{-n}=\frac{1}{x^n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ x|x\in\mathbb{R}-\{0\}\) Propiedad del exponente negativo. 10. \(x^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{x^m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)
Exponente fraccionario, donde \(x^m\ge0\) si \(n\) es par .
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Determinar el valor de \(a^4\cdot a^3\cdot a^{-5}\)
Solución: por la propiedad \(x^mx^n=\ x^{m+n}\) se tiene:
\(a^4\cdot a^3\cdot a^{-5}=a^{4+3-5}=a^2\)
Determinar el producto \(\left(2^7\cdot3^{-4}\right)\left(2^{-5}\cdot3^4\right)\)
Solución: sea \(p\) el producto buscado, aplicando las propiedades se tiene.
\begin{array}{l l}
p=2^7\cdot3^{-4}\cdot2^{-5}\cdot3^4& \mathrm{Multiplicando.}\\
p=2^{7-5}\cdot3^{-4+4}& x^mx^n=x^{m+n}\\
p=2^2\cdot3^0&\mathrm{Simplificando.}\\
p=4&\mathrm{Desarrollando.}\end{array}
Determinar el producto \(\left(3^5\cdot5^{-4}\right)\left(2^3\cdot3^{-7}\cdot5^6\right)\)
Solución: sea \(p\) el producto buscado, aplicando propiedades se tiene.
\begin{align}
p&=2^3\cdot3^{5+\left(-7\right)}\cdot5^{-4+6}~~~~~~~~~\mathrm{Multiplicando.}\\
p&=2^3\cdot3^{-2}\cdot5^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Simplificando}\\
p&=\frac{2^3\cdot5^2}{3^2}=\frac{8\cdot25}{9}~~~~~~~~~~~~\mathrm{Desarrollando.}\\
p&=\frac{200}{9}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Multiplicando.}\end{align}
Simplificar el producto
$$p=\left(8^\frac{2}{3}\cdot3^\frac{1}{3}\right)\left(2^{-2}\cdot3^{-\frac{7}{3}}\right)$$
Solución: reescribiendo todo como potencias de base dos y tres únicamente,
\begin{align}
&p=\ \left(\left(2^3\right)^\frac{2}{3}\cdot3^\frac{1}{3}\right)\left(2^{-2}\cdot3^{-\frac{7}{3}}\right)\Longrightarrow p=2^2\cdot3^\frac{1}{3}\cdot2^{-2}\cdot3^{-\frac{7}{3}}\\
&p=2^{2-2}\cdot3^{\frac{1}{3}-\frac{7}{3}}=2^0\cdot3^{-2}=1/9\end{align}
solución: sea \(C\) el cociente buscado, aplicando las propiedades del exponente negativo y división de igual base, se tiene.
\begin{align}
C=&\frac{3b^2}{17a^2bb^2a^2}\\
C=&\frac{3}{17a^4b}\end{align}
Solución: aplicando potencia de potencia,
$$\left[\left(x+2y\right)^{-3}\right]^{-2}=\left(x+2y\right)^{-3\left(-2\right)}=\left(x+2y\right)^6$$
Al estudiar el binomio de Newton verá como puede escribir en desarrollo \(\left(x+2y\right)^6\). Si lo desea puede realizar el desarrollo de esta expresión.
Solución: sea \(r\) resultado esperado entonces,
\begin{align}
r=&\frac{1}{\left(\frac{4}{3}x^2y^3\right)^3}\left(\frac{3}{16x^5}\right)^2\\
r=&\frac{1}{\frac{4^3}{3^3}x^{2\left(3\right)}y^{3\left(3\right)}}\left(\frac{3^2}{{16}^2\left(x^5\right)^2}\right)\\
r=&\frac{27}{64x^6y^9}\left(\frac{9}{256x^{10}}\right)\\
r=&\frac{27(9)}{64(256)x^{6+10}y^9}\\
r=&\frac{27(9)}{64(256)x^{16}y^9}\end{align}
Note que la fracción no es simplificable, así que se prefiere dejar la respuesta como está.
