Aritmética y conjuntos numéricos.
Se dice que un conjunto numérico es una “agrupación” números con ciertas características que permiten identificarlos. La aritmética (rama de la matemática que estudia los números y las operaciones hechas con ellos) considera dos conjuntos de números, los números primos (enteros \(p\) mayores que uno, cuyos únicos divisores positivos son el uno y el mismo número \(p\)) y los números compuestos (aquellos que no primos), los cuales se obtienen como el producto de dos o más primos. Denotando el conjunto de los primos como \(p\) luego el conjunto se escribe,
$$p=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 39,\ 41,\ 43,\ 47,\ 49,\ 51,\ ...\}$$
Así es posible afirmar que \(7\in p\land15\notin p.\)
Conjuntos numéricos
1. Conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) surge con la necesidad de la humanidad de contar, sumar y ordenar elementos, es el conjunto formado por los números utilizados para contar o representar orden.
$$\mathbb{N}=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ \ldots\right\}$$
Así se puede indicar que \(13\in\mathbb{N}\) mientras que \(0.5\notin\mathbb{N}.\) Con este conjunto es posible realizar adiciones, ordenar y multiplicar cantidades contenidas en él.
2. Conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\). Este conjunto surge con la necesidad de realizar sustracciones, representar deudas, perdidas o la inexistencia de cantidad. Es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los inversos aditivos de los naturales. $$\mathbb{Z}={\ldots,-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\mathbb{N}}$$ Así se puede indicar que \(100\in\mathbb{Z}\) mientras que \(0.33\notin\mathbb{Z}.\)
3. Conjunto de los racionales \(\mathbb{Q}\). Algunas veces al realizar divisiones o representar cierta parte de un todo (una fracción), no es posible escribir el resultado como un elemento de \(\mathbb{Z}\), por lo que se hace necesario expandir los conjuntos numéricos. Se dice que el conjunto de los números racionales es el conjunto de todos los números que se pueden expresar como el cociente de dos entero, el cual contiene a los enteros \(\mathbb{Z}\), y por tanto, a los naturales \(\mathbb{N}\). $$\mathbb{Q}=\left\{\mathbb{Z},\ \frac{n}{d}\right\}$$ donde \(n\) y \(d\) son coprimosy además, \(d\neq0\).
4. Conjunto de los números irracionales \(\mathbb{Q}\prime\) (cu prima). Cuando se mide la diagonal de un cuadrado, longitud de un círculo, cuando se intenta calcular la raíz enésima de un número primo, entre otros, el resultado no pertenece a ninguno de los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora, por lo cual se hace necesario un nuevo conjunto llamado conjunto de los números irracionales el cual es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Contiene al número \(\pi\), al número de Euler (número \(e\)), la famosa razón de oro representada por phi \(\Phi\), todas las raíces de todos los números primos. $$\mathbb{Q}^\prime=\left\{\ \pi\ ,e,\Phi,\ \sqrt[n]{p},...\right\}$$ donde \(p\) es primo.
5. Conjunto de los números reales denotado por \(\mathbb{R}\) es un “superconjunto” que contiene a todos los conjuntos de los racionales y los irracionales anteriores \(\mathbb{R}=\left\{\mathbb{Q} ,\mathbb{Q}\prime\right\}\), cada uno de sus elemento recibe el nombre de número real. Por su gran importancia se discuten algunas generalidades de este conjunto inmediatamente.
Propiedades de los reales \(\mathbb{R}\).
Ordenamiento: sean \(m\) y \(n\) dos números reales cualquieras, entonces se cumple una de las siguientes relaciones:
\(~~~~1.~~m=n~~~\) (\(m\) igual a \(n\))
\(~~~~2.~~m< n~~~\) (\(m\) es menor que \(n\))
\(~~~~3.~~m>n~~~\) (\(m\) es mayor que \(n\))
Algunas veces estas relaciones se escriben de manera combinadas como \(m\le n\) (\(m\) menor o igual que \(n\)), \(m\geq n\) (\(m\) mayor o igual que \(n\)).
Completitud o continuidad: también llamada propiedad de densidad expresa que "entre dos números reales cualquiera hay infinitos número reales" la cual permite representar los reales como una recta continua de puntos en un sistema coordenado en el a cada punto le pertenece un número y a cada número le pertenece un punto.
De una manera más formal la propiedad de completitud establece que “dados dos conjuntos no vacíos \(X\) y \(Y\) subconjuntos de los reales tales que \(a\in X\) y \(b\in Y\) para los cuales se cumple la relación \(a\le b\) entonces \(\exists\ c\in\mathbb{R}\ |\ a\le c\ \le b\) “existe un \(c\) elemento de los reales tal que \(a\) es menor \(c\) y \(c\) es menor que \(b\)”. Esta propiedad se asocia en la práctica con la actividad de medir permitiendo obtener resultados aproximados en las mediciones científicas.
Ejemplo 1. Determinar el valor de
\(20\times20\div20+40-4\div2^2+\sqrt{3^4}\)
Solución: sea \(S\) el resultado de las operaciones entonces,
\begin{align}
&S=\ 20\times20\div20+40-4\div4+\sqrt{81}\\
&S=20\times20\div20+40-4\div4+9\\
&S=20\times1+40-1+9\\
&S=20+40-1+9\\
&S=68~~~~ \mathrm{Simplificando.}\\
\end{align}
Ejemplo 2. Determinar la suma de \(10+\left\{5\left(2-8\right)\right\}\)
Solución sea \(S\) la suma buscada, entonces,
\begin{align}
&S=10+5{-6}
&S=10-30=-20\end{align}
Ejemplo 3. Determinar la suma de \(25-\left(12-\left(5+8\cdot3\right)-\sqrt{20\cdot10+25}\right)\)
solución: sea \(S\) la suma buscada, entoces se tiene,
\begin{align}
&S=25-\left(12-29-15\right)\\
&S=25-\left(-32\right)=57\end{align}
Ejemplo 4. Determinar la suma de \(-2(3{4\times15+21}-\sqrt[3]{16\div4+4})+17\)
Solución: sea \(S\) la suma buscada, entonces,
\begin{align}
&S=-2(3{60+21}-\sqrt[3]{8})+17\\
&S=-2(243-2)+17\\
&S=-2(241)+17\\
&S=-465\end{align}
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Operaciones básicas y su jerarquía.
Al igual que en la vida cotidiana en aritmética los números representan cantidades conocidas de algo, por ejemplo, al decir cinco naranjas, el número \(5\) representa la cantidad de naranjas que se tiene, no tiene significado expresar que se tiene o debe cinco, si no se dice la unidad, completar la idea con la unidad resulta de gran importancia para la compresión de la vida y el estudio de las ciencias. Así al hablar de cinco kilómetros, se escribe \(5{\rm k}m\), donde cinco es la cantidad y \({\rm k}m\) es la unidad de longitud.
Aunque pueda parecer simple, un error común que se debe evitar aunque pueda parecer simple, un error común que se debe evitar al trabajar en matemáticas es tener resultados erróneos por no tomar en cuenta el orden operacional. Al trabajar con operaciones combinadas se requiere de un cierto orden para poder alcanzar el resultado correcto, esto es por lo que en este apartado se inicia presentando estas simples reglas operacionales, para obtener resultados correctos. Para los conjuntos numéricos la aritmética considera siete operaciones fundamentales, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. Algunas operaciones de estas son internas, otras no.
Se dice que una operación es interna en un conjunto numérico dado, si al operar dos elementos del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto. La división no es interna en los conjuntos \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\) y \(\mathbb{R}.\) Además, en los reales tampoco es interna la radicación, la logaritmación no es interna en ningún conjunto.
El orden operacional.
El orden operacional también llamado jerarquía de las operaciones, son una serie de reglas establecidas por los matemáticos, con el fin de lograr los resultados correctos al trabajar con operaciones combinadas. Dicho orden se resume a continuación.
Orden de las operaciones
1. Operaciones indicadas por signos de agrupación o dentro de ellos, o bajo un signo radical.
2. Potenciación 3. Radicación.
4. División. 5. Multiplicación.
6. Adición o sustracción.
La logaritmación que se estudiará más adelante tiene el mismo orden que la potenciación, además, se deben recordar algunos aspectos importantes de estas operaciones, estos se muestran a continuación, con la finalidad de recordar al lector los nombres de los elementos de las operaciones básicas.
Se debe observar claramente el numeral uno de esta lista ya que es muy interesante, así \(18\div2\times3\neq18\div2\left(3\right)\), el primero de los casos \(18\div2\times3=9\times3=27\), mientras que en el segundo caso \(18\div2\left(3\right)=18\div6=3\).
Al definir las operaciones aritméticas en los reales estas heredan las propiedades aritmética de dichas operaciones, donde las únicas restricciones operacionales de \(\mathbb{R}\) son:
1. Dividir entre cero.
2. Raíz par de un \(n|n< 0\).
3. Logaritmo de un \(n|n\le0\).
Propiedades de la adición.
Sean \(a,\ b,c\) elementos cualquieras de \(\mathbb{R}\), si \(a+b=c\) los números \(a\) y \(b\) son llamados sumandos y \(c\)es la suma o total, bajo la acción de la operación de adición se verifican las siguientes propiedades:
I. Conmutativa expresa que el orden de los sumandos no altera la suma esto es \(a+b=b+a\) (no importa el orden al sumar). Cabe destacar que esta propiedad se cumple solo bajo ciertas condiciones que se estudiarán al analizar sumas infinitas de sucesiones decrecientes.
II. Asociativa expresa que se pueden agrupar los sumandos en la manera que se deseé y la suma o total no se altera, esto es,
$$a+b+c=\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)=b+(c+a).$$
III. Modular o del elemento neutro. Existe un único número (el cero), el cual al ser sumado con cualquier otro número \( \mathbb{R},\) da como resultado el mismo número \(\mathbb{R},\) esto es \(a+0=a;\ \ b+0=b.\)
IV. Inverso aditivo. Existe un número \(\mathbb{R}_2\) que al ser sumado que otro \(\mathbb{R}_1\) da como resultado el elemento neutro. Si \(\mathbb{R}_1+\mathbb{R}_2=0\) entonces se dice que \(\mathbb{R}_2\) y \(\mathbb{R}_1\) son inversos aditivos.
V. Operación inversa. La adicción tiene por operación inversa la resta o sustracción en la cual si \(a-b=r\) el número \(a\) es el minuendo, \(b\) es el sustraendo y \(r\) es el resto o diferencia.
Definición de sustracción
$$a-b\equiv a+(-b)$$ Una conclusión importante de esta definición es la llamada ley de los signos que presenta la conclusión \(-\left(-a\right)=a\), la demostración rápida, es como sigue, \(a+\left(-a\right)=0\) entonces por la propiedad conmutativa \(-a+a=0\), lo cual significa que \(a=-(-a)\).
Multiplicación.
La multiplicación es una operación que tiene por objeto dadas dos o más cantidades llamadas factores, hallar otra cantidad llamada producto. Sean \(a,b,c,p\) elementos cualquieras de \(\mathbb{R},\) si \(ab=p\) los números \(a\) y \(b\) son llamados factores y \(p\) es el producto bajo la operación de multiplicación se verifican las siguientes propiedades:
I. Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto, esto es a\cdot b=b\cdot a (no importa el orden).
II. Asociativa: se pueden agrupar los factores como se desee y el producto no se altera, esto es $$a\cdot b\cdot c=\left(b\cdot a\right)\cdot c=\left(a\cdot c\right)\cdot b=a\cdot(b\cdot c)$$
III. Distributiva con respecto de la adición o la sustracción. si \(a,b,c\) son elementos de \(\mathbb{R},\) se verifica que:
\begin{align}
&1.~~a\left(b+c-m\cdots\right)=ab+ac-am\cdots\\
&2.~~\left(m+n+\cdots\right)\left(a+b-c\cdots\right)=m\left(a+b-c\cdots\right)+n\left(a+b-c\cdots\right)+\cdots\end{align}
IV. Modulativa o elemento neutro. Existe un único número (el uno) que al ser multiplicado con un \(\mathbb{R}\) cualquiera, da como resultado el mismo número \(\mathbb{R},\) esto es \( 1\cdot\mathbb{R}=\mathbb{R}\cdot1=\mathbb{R}\)
V. Inverso multiplicador o reciproco: Existe un único número denotado por \(r\) tal que \(a\cdot r=1.\) Al estudiar las operaciones con fracciones se verá cómo encontrar este número.
VI. Propiedad del elemento absorbente. Existe un único número (el cero) tal que, al multiplicar un número \(\mathbb{R}\) cualquiera por él, el resultado es cero. \(\mathbb{R}\times0= 0\times\mathbb{R}=0.\)
VII. Operación inversa: Si \(n\div d=c+r\) el número \(n\) llamado dividendo, el número \(d\) es llamado divisor, \(c\) es el cociente y \(r\) es el residuo. Si para una división cualquiera se tiene,
\begin{align}\frac{n}{d}=c+\frac{r}{d}\end{align}
el número \(n\) llamado numerador, es el dividendo, el número \(d\) llamado denominador es el divisor, \(c\) es el cociente y \(r\) es el residuo.
Si \(r=0\) la división es exacta, si \(r\neq0\) la división es entera.
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Valor absoluto.
Cuando se representan los números reales sobre una recta es posible de-terminar analíticamente la distancia entre un real cualquiera y el cero, a través del concepto de valor absoluto de una cantidad, aun-que debido a la propiedad de densidad es imposible realizar la medición. Sin embargo, mediante el empleo del concepto de valor abso-luto las matemáticas dan una respuesta analítica a la situación.
Definición de valor absoluto: el valor absoluto de una cantidad \(c\), denotado como \(\left|c\right|\) se define como, $$|c|=\left\{\begin{array}{l} -c, {~~~~\rm si~~} c< 0\\ ~~~ c, {~~~~\rm si~~} c\ge0 \end{array}\right.$$ Además si \(n\) es par \(\sqrt[n]{c^n}=|c|\)
El valor absoluto de una cantidad \(c\) no considera el signo, y puede interpretarse como la distancia en la recta real desde \(c\) hasta el cero, así por ejemplo se tiene que, $$\left\{\begin{array}{l} |-5|=-(-5)=5\\ |5|=5 \end{array}\right.$$ de donde se ve que \(|c|>0\) siempre.
Algunas propiedades del valor absoluto.
\begin{align}
&\left|c\right|\geq0~~~~~~~\left|c\right|~~~~~~~~~~~{\rm Siempre~ es~ positivo.}\\
&\left|c\right|=0\Longleftrightarrow c=0 ~~{\rm}\\
&\left|uv\right|=\left|u\right|\left|v\right|~~~~~~~~~~~~{\rm Valor~absoluto~de~un~poducto}\\
&\left|\frac{u}{v}\right|=\frac{\left|u\right|}{\left|v\right|}~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Valor~absoluto~de~un~cociente}\\
&\left|c^n\right|=c^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Valor~absoluto~de~una~potencia}\\
&\left|c\right|^n=c^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Potencia~de~un~valor~absoluto}\\
\end{align}
Otras propiedades para el valor absoluto deben esperar a la utilización de resoluciones de desigualdades para su análisis.