Porcentajes.

Un porcentaje (o porciento) es otra manera de escribir una fracción decimal (\(\%\) quiere decir, por cada cien). El \(x%\) de un número \(n\) significa multiplicar \(x\) por \(n\) y dividirlo entre cien.

Tanto porciento de un número. $$x\%~ {\rm de}~ n=\frac{x\cdot n}{100}$$

En la vida cotidiana es muy común el uso de porcientos para indicar descuentos, impuestos, intereses, estadísticas deportivas y económicas entre otras. De hecho, se podría decir que las matemáticas de la vida llegan hasta los porcentajes y o proporciones, la otra parte es la puerta de entrada al mudo de las ciencias.

Ejemplo . Determinar el valor del porcentaje en cada caso. $$a.~ 20\%\ {\rm de}\ 200 \ \ \ b.~ 7\%\ {\rm de}\ 45 \ \ \ c.~ 12.5\%\ {\rm de}\ 5000$$ Solución: aplicando la expresión de porciento en cada uno de los casos. \begin{align} a.~~&\frac{20\cdot200}{100}=40\\ b.~~&\frac{7\cdot45}{100}=\frac{63}{20}=3.15\\ c.~~&\frac{12.5\cdot5000}{100}=625\end{align} Recuerde que no tiene sentido expresar “tanto porciento” si no se dice la magnitud o el ente al que se está haciendo referencia, salvo el caso que quede expresado por el contexto, al decir María ganó un 10% surge la pregunta ¿Un 10% de qué?

Además, en algunos casos al trabajar con cantidades se desea conocer que porcentaje es un número \(n\) de una cantidad \(c\), para estos casos se tiene la siguiente expresión. $$ x ~{\rm como~ porciento~de~} c \Longrightarrow x=\frac{n}{c}100\%=\frac{n\cdot100\%}{c} $$ Ejemplo 10 Buscando porcentaje. ¿Qué porcentaje es doce de 300?
Solución: aplicando la expresión anterior, se expresa sea \(x\) el porcentaje buscado, de donde, $$x=\frac{12\cdot100\%}{300}=4\%$$ por tanto, doce representa el \(4\%\) de \(300.\)

Ejemplo. Calculando descuentos. Una tienda departamental oferta un descuento de un \(10\%\) de la factura total consumida, a partir de $10 000 en adelante al pagar en efectivo. Si una persona compra cuatro blusas a $500 cada una, dos franelas a $150 cada una, una licuadora por $5 000, veinte platos a $35 cada uno y un juego de tenedores por un precio de $2 500. ¿De cuánto es el descuento que se debe aplicar a la persona si paga en efectivo? ¿Cuánto debe pagar la persona si se le aplica dicho descuento?
Solución: Sume los importes totales, aplique el descuento y determine el monto a pagar. \begin{align} 4$500=$2000\\ 2$150=$\ 300\\ 1($5000)=$5000\\ 20$35=$0700\\ $2500= $2500\\ {\rm total}=$10 500\end{aling} Descuento: $$\frac{10}{2100}\times$10500=$1 050$$ Cantidad a pagar \($10 500-$1050=$9 450\)

Ejemplo Determinando el importe. Una persona paga un total de \($21 560\) en una tienda de repuestos automotrices, ¿Si se le aplicó un descuento de un \(12\%\) cuál era el importe total a pagar?
Solución: como el descuento es de \(12\%,\) entonces \($21\ 560\) es el \(88\%\) del importe total a pagar, así que la pregunta es equivalente a decir. ¿De qué número \($21 560\) es el \(88\%\)? $$C=\frac{n}{x\%}=\frac{$21560}{88\%}=\frac{$21\ 560}{88/100}=$24\ 500$$ Ejemplo. Porcentaje de un volumen. Una piscina de forma prismática rectangular mide \(10m\times12m\times8m.\) En el instante en que la piscina tiene un volumen de agua de \(240m^3.\) ¿Qué porcentaje de ella falta por llenarse? Solución: sea p el porcentaje por llenarse, entonces \(p=100%-%lleno\) \begin{align} p=&100\%-\frac{n\cdot100}{C}\%\\ p=&100\%-\frac{240\cdot100}{10\left(12\right)8}\%\\ p=&100\%-25\%=75\%\) Otra manera de realizar el ejercicio es calcular el volumen total, 960m^3 restarle el volumen que está lleno, \(960m^3-240m^3=720m^3\) y ahora determinar ¿Qué porcentaje es 720 de 960?

Ejemplo. Sumando porcentaje. ¡Cuidado sumar porcentajes no es lo mismo que sumar números! Como consecuencia del alto costo de la vida un empresario decide al comienzo del año aumentar los salarios de sus empleados en un 23%, con la condición de que para ser justo disminuirá el salario ordinario del mes de junio en igual porcentaje en los últimos seis meses. a) Determinar a cuánto haciende el salario de una persona que cobra $40 000 durante los primeros seis meses. b) Analice la condición del salario ordinario del inicio y final de año y determine si el empleador es justo o no.
Solución. el salario a cobrar durante los primeros seis meses es: \begin{align} S=&$40000+23\% ($40000)\\ S=&$40000+\frac{23\cdot$40\ 000}{100}\\ S=&40\ 000+9\ 200=49\ 200\end{align} El salario a cobrar durante los últimos seis meses es: \begin{align} S=&$49\ 200-23\%\ ($49\ 200)\\ S=&$49\ 200-\frac{23\cdot$49\ 200}{100}\\ S=&$49\ 200-$11\ 316=$37\ 884\end{align} Si el empleador deja ahora el salario ordinario en $37\ 884 los trabajadores terminaran perdiendo dinero en prestaciones y reivindicaciones, por tanto, si actúa así no es justo.

Ejemplo. Educación financiera. En matemática financiera el monto M (valor futuro) producido por una inversión c que se invierte a una tasa de interés simple r durante un tiempo t está dado por la expresión \(M=c\left(1+rt\right),\) siendo el interés I=crt. Determinar el valor futuro en cinco años, de $200\ 000 invertidos a una tasa de 9% de interés simple.
Solución: sea el valor futuro, donde C es la inversión, t es tiempo, y \(r\) es la tasa. el monto a recibir está dado por \(M=C\left(1+rt\right).\) En la vida cotidiana este es un ejemplo de una de las aplicaciones más usadas al trabajar con porcentajes. Recuerde esta expresión pues la va a necesita muchas otra veces. \begin{align} M=&$200\ 000\left(1+\frac{9}{100}\left(5\right)\right)\\ M=&$200\ 000\left(1+\frac{45}{100}\right)\\ M=&$200\ 000\left(\frac{145}{100}\right)=$290\ 000\end{align} Ejemplo. Educación financiera. Determine el porcentaje mensual al cual deben ser invertido \($75\ 000\) para recibir un interés de \($18\ 000\) anual.
Solución: de la expresión para el interés \(I=crt\) se tiene la expresión para el porcentaje anual, \(r=I/ct\), de donde, \begin{align} r=&\frac{18\ 000}{75\ 000(1)}\\ r=&\frac{6}{25}=0.24\Longrightarrow r=0.24(100\%)=24\% \end{align} Ahora dividiendo \(24\%\) entre doce, el porcentaje mensual al que debe ser invertido los \(75\ 000\) es un dos por ciento.

Ejemplo. Educación financiera. Una tienda de calzado ofrece un descuento de un 50% sobre la segunda unidad comprada en cualquiera de sus artículos aplicable al artículo de menor precio en caso de haber diferencia de precio. Para el comienzo del año escolar una madre decide aprovechar la oferta y comprar dos pares de zapatos los cuales tienen un precio de $1500 cada uno. a. Determine cuánto es el ahorro al aprovechar la oferta. b. ¿Qué porcentaje (porcentaje real de descuento) representa este monto con respecto al precio de los zapatos sin descuento?
Solución: como el descuento se aplica al segundo artículo el monto a pagar es, $$$1500+50\%($1500)=$1500+$750=$2250$$ El ahorro al comprar queda determinado por, $$2($1500)-$2250=$750$$ b. ¿Qué porcentaje es $750 de $3000? $$x=\frac{n\cdot100%}{C}\Longrightarrow x=\frac{750\cdot100\%}{3000}=\frac{75000\%}{3000}=25\%$$ De donde la publicidad de un 50% de descuento en la segunda unidad puede ser considerada como "una publicidad engañosa"

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