Fracciones matemáticas y proporciones.
El estudio de las matemáticas y otras ciencias como la física o química, entre otras, requiere del dominio conceptual y analítico de las fracciones matemáticas, este apartado se inicia con algunos conceptos básicos sobre el manejo de fracciones matemáticas que ayudaran a profundizar en temas posteriores de forma más simple.
En lo cotidiano una fracción es una porción, parte, pedazo de algo. Por ejemplo, si toma un lápiz y lo parte en varios pedazos, cada pedazo es una fracción del lápiz. En matemáticas, una fracción matemática es la representación numérica de una porción de un ente u objeto. Las fracciones matemática se representan de varias maneras, como son, $$\frac{n}{d}\ \ \ \ \ \ {\rm ó} \ \ \ \ n/d$$ lo cual se lee “ene sobre de” donde \(d\) no es igual a cero \(\left(d\neq0\right).\)
Las letras usadas no tienen ninguna importancia, puede utilizar las que desee para representar la fracción. Las fracciones matemáticas indican una división, decir \(n\) sobre \(d,\) significa n entre \(d\). El número \(n\) es llamado numerador y el número \(d\) denominador. Si \(d=2\) la fracción se lee como \(n\) medios, si \(d=3\) la fracción se lee como \(n\) tercios, si \(d>3\) se lee como un ordinal.
Así \(3/2\) se lee "tres medios",porque \(d=2\) mientras que \(2/3\) se lee "dos tercios" porque \(d=3;\ \ 3/5\) se lee tres quintos,porque \(d>3\).
En lo cotidiano no se requiere del formalismo matemático sobre fracciones, así por ejemplo, los mecánicos suelen expresar para un llave cuya medida es nueve dieciseisavo de pulgadas \((9/16\ in)\) solo como una llave nueve-dieciséis, donde el contexto de trabajo permite al receptor la decodificar el mensaje, sin el rigor matemático.
Clasificación de las fracciones.
Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia, si el numerador es mayor que el denominador la fracción es impropia, de donde,
\begin{align}
&2/3 ~~~~{\rm es~propia}\\
&3/2 ~~~~{\rm es~impropia}\end{align}
Algunas veces una fracción impropia se escribe en forma de otro tipo de fracción llamadas fracción mixta (o números mixtos) las cuales constan de una parte entera más una fracción propia, por ejemplo,,
$$c\frac{n}d~~~~{\rm como ~por ~ejemplo}
\left\{\begin{array}{c}
5\frac13\\
3\frac57
\end{array}\right.$$
Por lo general este tipo de fracción está en deshuso, debido a que en cálculo y otras asignaturas superiores no se usan. Una fracción mixta de esta forma representa una fracción impropia.
Conversión de fracción mixta a impropia.
$$c\frac{n}{d}=\frac{d\cdot c+n}{d}$$ Ver Ejercicios I Ej.1 en la parte superior
Una fracción impropia se convierte a fracción mixta, solo con realizar la división y escribir la fracción como \(c\frac{r}{d}\) donde \(c\) es el cociente, \(r\) es el residuo y \(d\) es el divisor, como se muestra en la figura. Así \(5/3\) y \(23/4\) se convierten a mixto solo con realizar la división y escribir,
Representación gráfica y clasificación de fracciones.
Otra manera en que una fracción puede ser representada es de manera gráfica, para esto, se utilizan figuras geométricas o de objeto, las cuales se dividen en partes iguales y se colorean las partes representativas del numerador, sombreadas como en la figura de la izquierda. En la imagen se ha dividido un círculo en cuatro partes iguales, y en cada uno de los casos se ha sombreado uno o varios pedazos, los cuales indican la fracción a tomar en cada caso. El número de pedazos en que ha divido el circulo (cuatro) es el denominador de la fracción y los pedazos tomados (parte sombreada) son los numeradores, por tanto, las fracciones representa son,
$$a=\frac{1}{4};\ \ \ \ b=\frac{2}{4}\ \ ;\ \ c=\frac{3}{4}$$
Un ejemplo gráfico de fracción impropia son las barras de la figura de la izquierda, imagine que toma dos barras de chocolate o cualquier otro dulce de su preferencia partiendo cada barra en cinco pedazos iguales, por tanto tendría diez pedazos de un quinto de barra, ahora regala siete pedazos a igual número de amigos, la situación puede ilustrarse como en la gráfica, donde la representación matemática de la situación es que se han sombreado siete partes iguales a \(1/5\) (las que se han regalado) y la fracción impropia representada en la figura es \(7/5\).
Fracciones equivalentes.
Se dice que dos o más fracciones son equivalentes cuando representan una misma cantidad. Las fracciones equivalentes se obtienen al multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción, por un mismo número. Simplificar una fracción a su mínima expresión, es escribir la fracción equivalente más pequeña posible de una fracción dada.
Ver Ejercicios I Ej.2 en la parte superior.
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Operaciones con fracciones.
Muchas situaciones de la vida cotidiana involucran una o más operaciones con fracciones matemáticas, por ejemplo, al hacer un pastel por lo general se usan medidas las cuales son expresadas en forma de fracción (dos libras y media de harina, tres cuarto de taza de aceite, entre otras) de modo que operar fracciones es más normal de lo que se puede llegar pensar.
En ciencias las operaciones con fracciones son de uso aun más común que en lo cotidiano debido a que rara vez al medir un objeto el resultado sea un número entero, por lo cual la gran mayoría de las medidas suelen tener una parte entera más una fracción. El dominio de las operaciones con fracciones es indispensable para el estudiantes y como para un curso como este ya se han visto en detalle las operaciones con fracciones, por simplicidad se presenta una tabla resumen con los aspectos más importantes de las operaciones con fracciones, donde en ningún caso el denominador es cero.
Tabla resumen de operaciones con fracciones.
Operación |
Expresión matemática |
|---|---|
Entero \(\pm\) una fracción |
$$c\pm\frac{n}{d}=\frac{d\cdot c\ \pm n}{d}$$ |
Adición de igual denominador. |
$$\frac{n}{d}\pm\frac{c}{d}\pm\ \frac{x}{d}\pm\cdots=\frac{n\pm c\pm x}{d}\pm\cdots$$ |
Denominadores diferentes. |
$$\frac{n}{d}\pm\frac{a}{b}\cdots=\frac{k\div d\cdot n\pm k\div b\cdot a}{m.c.ds.=k}\cdots$$ |
Multiplicación |
$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\times\frac{m}{n}\times\cdots=\frac{a\ \times\ c\ \times\ m\ \times\cdots}{b\times\ d\times n\times\cdots}$$ |
División |
$$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\times d\ }{b\times c\ }$$ |
Potenciación |
$$\left(\frac{u}{v}\right)^n=\frac{u^n}{v^n}$$ |
Radicación |
$$\sqrt[n]{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt[n]{u}}{\sqrt[n]{v}}\ {\rm \ para} \ u\ {\rm y}\ v\ \mathbb{R}^+$$ |
Donde el único caso no directo es la adición o sustracción de fracciones con denominadores distintos, para todos los demás casos basta seguir el algoritmo planteado. El uso del signo \(\pm\) expresa, que si es adición se suma y si es sustracción se resta. En el conjunto de los reales \(\mathbb{R}\), la división entre cero no está definida, no es posible dividir entre cero, además como ningún número elevado a potencia par produce un resultado negativo, no es posible determinar la raíz de índice par de un número negativo. Se debe tener en cuenta esto siempre.
Ver Ejercicios I Ej4 al Ej10 en la parte superior.
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Convertir las fracciones mixtas dadas a fracciones impropias $$\begin{array}{c} a.\ 1\frac23&b.\ 5\frac34&c.\ 9\frac1{16}\end{array} $$
Manipulando fracciones. Escribir tres fracciones equivalentes para cada una de las fracciones siguientes \begin{array}{c} a.\ 3/2&b. \ 5/6&c. \ 7/8\end{array}
Manipulando fracciones. Simplificar las fracciones $$\begin{array}{c}a. \ \ \frac{12}{8};&b.\ \ \frac{42}{63};&c. \ \ \frac{123}{642}\end{array}$$