Racionalización.

La racionalización en el contexto matemático se refiere a escribir una cantidad en forma racional. Por lo general consiste en remover radicales del denominador (o el numerador) de una fracción a través de procedimientos algebraicos.

Por acuerdo los matemáticos han establecidos no dejar una respuesta en la medida de los posible con radicales en el denominador y para tales fines se realiza la racionalización mediante operaciones de multiplicación y división para escribirlo como una cantidad racional.

Aunque en la mayoría de los casos la racionalización se hace con el denominador de una expresión, en el estudio del Cálculo muchas veces es necesario racionalizar el numerador de una expresión para la determinación del límite de una función, es por esta razón que se deben estudiar técnicas de racionalización tanto para denominadores como numeradores.

La racionalización está basada en los siguientes artificios matemáticos fundamentales.

      1. Propiedad del elemento neutro de la multiplicación.
      2. Producto de binomios conjugados \(\left(u+v\right)\left(u-v\right)=u^2-v^2\)
      3. Propiedades de los exponentes.
      4. Propiedades de los radicales.
      5. Binomio de Newton para casos avanzados.

Estos hacen posible escribir la expresión en una forma acomodada, según el caso de estudio para el trabajo que se desea efectuar, como se ilustra en los siguiente ejemplos.

Ejemplo 1. Racionalizando una raíz cuadrada simple. Sean \(c\in\mathbb{R}\) y \(x\in\mathbb{R}^+\) racionalizar \(c/\sqrt x.\)
Solución: usando la propiedad de elemento neutro de la multiplicación para multiplicar por un “uno acomodado” igual a \(\sqrt x/\sqrt x\) se tiene, $$\frac{c}{\sqrt x}\ \ =\frac{c}{\sqrt x}\ \frac{\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{c\sqrt x}{x}$$ Lo cual muestra que, para todo \(c\) y \(x\in\mathbb{R}^+\) la expresión \(c/\sqrt x\) puede escribirse como, $$\frac{c}{\sqrt x}\ \ =\frac{c\sqrt x}{x}$$ de donde se pueden inferir resultados como, \begin{align} &a)~~\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ &b)~~\frac{5}{2\sqrt7}=\frac{5\sqrt7}{2(7)}=\frac{5\sqrt7}{14}\\ &c)~~\frac{7}{3\sqrt{11}}=\frac{7\sqrt{11}}{33}\end{align} Ejemplo 2. Racionalizando raíces enésimas. Sean \(c\in\mathbb{R}\) y \(x\in\mathbb{R}^+\) racionalizar \() c/\sqrt[n]{x^m}.\)
Solución: comience por escribir \(\sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}\) y luego multiplique por un "uno acomodado", que para este caso es de la forma \(x^{1-m/n}/x^{1-m/n}\) de donde se tiene, $$\frac{c}{\sqrt[n]{x^m}}=\frac{c}{x^{m/n}}\left(\frac{x^{1-m/n}}{x^{1-m/n}}\right) =\frac{cx^{1-m/n}}{x}$$ del anterior ejemplo se concluye el importante resultado $$\frac{c}{\sqrt[n]{x^m}}=\frac{cx^{1-m/n}}{x}$$ El ejemplo uno es un caso particular de este caso, otros ejemplos de este caso se prenentan a continuación.

Ejemplo 3. Racionalizar las cantidades siguientes $$a)\ \frac{100}{\sqrt[3]{2^9}}\ \ \ \ b)\frac{7}{\sqrt[2]{5^3}}\ \ \ \ \ c) \ \frac{11}{\sqrt[5]{3^2}}$$ Solución: aplicando el resultado anterior multiplicando por un “uno acomodado” en cada caso se tiene, \begin{align} &a)~~\frac{100}{\sqrt[3]{2^9}}=\frac{100}{2^{9/3}}=\frac{100}{2^3}=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}\\ &b)~~ \frac{7}{\sqrt[2]{5^3}}=\frac{7}{\sqrt{5^2(5)}}=\frac{7}{5\sqrt5}=\frac{7\sqrt5}{5(5)}=\frac{7\sqrt5}{25}\\ &c)~~\frac{11}{\sqrt[5]{3^2}}=\frac{11}{3^{2/5}}\left(\frac{3^{3/5}}{3^{3/5}}\right)=\frac{11(3^{3/5})}{3}=\frac{11\sqrt[5]{3^3}}{3}\end{align} Ejemplo 4. Racionalizando sumas o diferencia con raíces cuadradas. Racionalizar las expresiones. $$a)\frac{5}{2+\sqrt3}\ \ \ \ \ \ b)\frac{13}{7-\sqrt{11}}$$ Solución: comience por multiplicar numerador y denominador de ambas expresiones por un uno acomodado, para este caso conviene el conjugado del denominador, luego realice las operaciones planteadas, teniendo en cuenta que \(\left(u+v\right)\left(u-v\right)=u^2-v^2\)
\begin{align} &a)\frac{5}{2+\sqrt3}\left(\frac{2-\sqrt3}{2-\sqrt3}\right)=\frac{5(2-\sqrt3)}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\ &\frac{5}{2+\sqrt3}=\frac{5(2-\sqrt3)}{4-3}=10-5\sqrt3\\ &b)\frac{13}{7-\sqrt{11}}\left(\frac{7+\sqrt{11}}{7+\sqrt{11}}\right)=\frac{13(7+\sqrt{11})}{(7-\sqrt{11})(7+\sqrt{11})}\\ &\frac{13}{7-\sqrt{11}}=\frac{91+13\sqrt{11}}{49-11}=\frac{91+13\sqrt{11}} {38}\\ &\frac{13}{7-\sqrt{11}}=\frac{91}{38}+\frac{13\sqrt{11}}{38}\end{align} Ejemplo 5. Racionalizando expresiones algebraicas. Racionalizar las expresiones, $$a)\frac{5x}{\sqrt{x-4}-3}\ \ \ \ \ \ b)\frac{x+3}{7-\sqrt{2x-6}}$$ Solución: como en el ejemplo anterior, comience por multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador, realice las operaciones planteadas, y simplifique si es posible. \begin{align} &a)\frac{5x}{\sqrt{x-4}-3}\ \left(\frac{\sqrt{x-4}+3}{\sqrt{x-4}+3}\right)=\frac{5x(\sqrt{x-4}+3)}{x-4-9}\\ &\frac{5x}{\sqrt{x-4}-3}=\frac{5x\sqrt{x-4}+15x}{x-13}\\ &b)\frac{x+3}{7-\sqrt{2x-6}}\ \left(\frac{7+\sqrt{2x-6}}{7+\sqrt{2x-6}}\right)=\frac{(x+3)(7+\sqrt{2x-6})}{49-2x-6}\\ &\frac{x+3}{7-\sqrt{2x-6}}=\frac{(x+3)(7+\sqrt{2x-6})}{43-2x}\end{align} Ejemplo 6. Racionalizando y factorizando. Racionalizar las expresiones $$a)\ \frac{x^2-16}{\sqrt x-2}\ \ \ \ b)\frac{4-x^2}{4-\sqrt{x^2+12}}$$ Solución: proceda como de costumbre y multiplique por un uno acomodado para simplificar. \begin{align} &a)\ \frac{x^2-16}{\sqrt x-2}\left(\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}\right)=\frac{\left(x^2-16\right)\left(\sqrt x+2\right)}{x-4}\\ &\frac{x^2-16}{\sqrt x-2}=\frac{\left(x+4\right)\left(x-4\right)\left(\sqrt x+2\right)}{x-4}=\left(x+4\right)\left(\sqrt x+2\right)\\ &b)\ \frac{4-x^2}{4-\sqrt{x^2+12}}=\frac{4-x^2}{4-\sqrt{x^2+12}}\left(\frac{4+\sqrt{x^2+12}}{4+\sqrt{x^2+12}}\right)\\ &\frac{4-x^2}{4-\sqrt{x^2+12}}=\frac{\left(4-x^2\right)\left(4+\sqrt{x^2+12}\right)}{16-\left(x^2+12\right)}\\ &\frac{4-x^2}{4-\sqrt{x^2+12}}=\frac{\left(4-x^2\right)\left(4+\sqrt{x^2+12}\right)}{4-x^2}\\ &\frac{4-x^2}{4-\sqrt{x^2+12}}=4+\sqrt{x^2+12}\end{align} Ejemplo 7. Racionalizando un numerador. Racionalizar el numerador de la expresión, $$\frac{\sqrt{x^2+16}-5}{x-3}$$ Solución: el procedimiento para este caso es igual a los casos anteriores, multiplicar numerador y denominador por un uno acomodado, conjugado del numerador en este caso y realizar operaciones planteadas hasta simplificar a su máxima expresión. \begin{align} &\frac{\sqrt{x^2+16}-5}{x-3}\left(\frac{\sqrt{x^2+16}+5}{\sqrt{x^2+16}+5}\right)=\frac{x^2+16-25}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x^2+16}+5\right)}\\ &\frac{\sqrt{x^2+16}-5}{x-3}=\frac{x^2-9}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x^2+16}+5\right)}\\ &\frac{\sqrt{x^2+16}-5}{x-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x^2+16}+5\right)}\\ &\frac{\sqrt{x^2+16}-5}{x-3}=\frac{x+3} {\sqrt{x^2+16}+5}\end{align} Ejemplo 8. Raionalización avanzada Para finalizar este apartado se presenta un ejemplo avanzado para así afianzar más los conocimientos. Racionalizar las expresiones, $$a)\frac{x^2-4}{\sqrt[3]{x^2+4}-2}\ \ \ \ \ b)\frac{x-3}{\sqrt[4]{27x}-3}$$ Solución: comience por reescribir las cantidades sub radicales en forma de potencias, como $$\sqrt[3]{x^2+4}={(x^2+4)}^{1/3}~~ {\rm y}~~ \sqrt[4]{27x}={(27x)}^{1/4}$$ de donde reescribiendo se tiene, $$a)\frac{x^2-4}{{(x^2+4)}^{1/3}-2}\ \ \ \ \ \ b)\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}$$ Parte \(a\). De \(w^3-x^3=\left(w-x\right)\left(w^2+wx+x^2\right)\) se tiene la forma para racionalizar como sigue. \begin{align} &\frac{x^2-4}{{(x^2+4)}^{1/3}-2}=\frac{x^2-4}{{(x^2+4)}^{1/3}-2}\left(\frac{{(x^2+4)}^{2/3}+2{(x^2+4)}^{1/3}+2^2}{{(x^2+4)}^{2/3}+2{(x^2+4)}^{1/3}+2^2}\right)\\ &\frac{x^2-4}{\sqrt[3]{x^2+4}-2}=\frac{\left(x^2-4\right)\left({(x^2+4)}^{2/3}+2{(x^2+4)}^{1/3}+4\right)}{x^2+4-8}\\ &\frac{x^2-4}{\sqrt[3]{x^2+4}-2}=\frac{\left(x^2-4\right)\left({(x^2+4)}^{2/3}+2{(x^2+4)}^{1/3}+4\right)}{x^2-4}\\ &\frac{x^2-4}{\sqrt[3]{x^2+4}-2}={(x^2+4)}^{2/3}+2{(x^2+4)}^{1/3}+4\end{align} que escrita en forma de radicales es, $$\frac{x^2-4}{\sqrt[3]{x^2+4}-2}=\sqrt[3]{{(x^2+4)}^2}+2\sqrt[3]{x^2+4}+4$$ Parte \(b.\) De \(w^4-x^4=\left(w-x\right)\left(w^3+w^2x+wx^2+x^3\right)\) la racionalización es como sigue. \begin{align} &\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}=\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}\left(\frac{\left(27x\right)^\frac{3}{4}+\left(27x\right)^\frac{2}{4}\left(3\right)+\left(27x\right)^\frac{1}{4}\left(3\right)^2+3^3}{\left(27x\right)^\frac{3}{4}+\left(27x\right)^\frac{2}{4}\left(3\right)+\left(27x\right)^\frac{1}{4}\left(3\right)^2+3^3}\right)\\ &\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(\left(27x\right)^\frac{3}{4}+3\left(27x\right)^\frac{2}{4}+9\left(27x\right)^\frac{1}{4}+27\right)}{27x-3^4}\\ &\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(\left(27x\right)^\frac{3}{4}+3\left(27x\right)^\frac{2}{4}+9\left(27x\right)^\frac{1}{4}+27\right)}{27(x-3)}\\ &\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}=\left(27x\right)^\frac{3}{4}+3\left(27x\right)^\frac{1}{2}+9\left(27x\right)^\frac{1}{4}+27\end{align} que escrito en forma de radicales es $$\frac{x-3}{{(27x)}^{1/4}-3}=\sqrt[4]{{(27x)}^3}+3\sqrt{27x}+9\sqrt[4]{27x}+27$$

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